线性代数第四次作业.doc

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1、向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a=1,b=3.2．已知向量=（1，2，3），=（3，2，1），则3+2=（9，10，11），-=（-2，0，2）．3．设向量组线性无关，则向量组，+，++线性无关．4．设向量线性无关，则线性无关。5．设向量线性无关，则向量线性无关．6.是3维向量组,则线性相关.7．零向量是线性相关的，非零向量α是线性无关的.线性关系部分证明题（注：下面的题目中只需选做3道题即可）1　证明：如果向量组线性无关，则向量组亦线性无关．证明：设有一组数，使　　　

2、　　　　　成立，整理得　　　　　　由于线性无关，所以因为其系数行列式，所以方程组只有零解，即．向量组线性无关得证．2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？答案：等价。因为β可由α1，α2，…，αr线性表示，所以有λ1，λ2，…，λr，使β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0①又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr线

3、性表示。由式①有即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？4．已知，判定此向量组是线性相关还是线性无关。5．设=（1，1，2）T，=（1，2，3）T，=（1，3，t）T请问当t为何值时，，，线性相关？并将用，线性表示．6,设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示法惟一。答案：因线性相关，故有不全为零，使要证可由线性表示，只要证明，假设k=0，则不全为零，且有故线性相关，矛

4、盾，所以。设有个表示式两式相减得因线性无关，所以，即所以表示法惟一。