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《线代各章小结by华理自强社.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章1.6.1内容框图矩阵的定义矩阵的逆矩阵的分块矩阵的初等变换矩阵的运算1.6.2基本要求（1）理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。（2）熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。（4）了解分块矩阵及其运算。（5）熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。1.6.3内容概要1）矩阵的概念矩阵是一个由mn个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为A=或A=本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。2）特殊矩阵特殊矩
2、阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。他们之间具有如下的从属关系3）矩阵的运算（1）加法：设，（2）数乘：设；（3）乘法：设，，则，其中注两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。（4）转置：设A=，则称为A的转置阵，记为。（5）运算规律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);.(AB)C=A(BC);;A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;(k,l为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。注1矩阵的乘法不满足交换律，即一般情
3、况下ABBA,由此得到式子都未必成立，但上述三个式子在AB=BA的条件下都成立，例如：注2矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC不能得到B=C.由此可知若不能得到A=O,或A=I,若也不能得到A=O，但在A可逆的条件下，由AB=AC必成立B=C思考：当A可逆时，若AB=CA能推出B=C吗？4)可逆矩阵（1）概念：设矩阵A,B满足AB=BA=I，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为.注1可逆矩阵必为方阵。注2若A可逆，其逆必唯一，故A的逆矩阵记作，即有A=A=I（2）性质：若A可逆，则,均可逆，且;若A可逆，数，
4、则kA可逆，且;若A,B是同阶可逆阵，则AB可逆,=.注若A,B为同阶的可逆矩阵，A+B不一定可逆（3）判别方法①利用定义:若AB=BA=I,则必有A可逆,且;②利用初等矩阵:若A可分解为有限个初等矩阵,则A可逆.(4)求法①利用初等变换或注对只能用行初等变换.对只能用列初等变换。②利用分块矩阵③凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式,从而可得=B,这一方法适用于抽象矩阵求逆.5)矩阵的分块（1）概念:对矩阵A用若干条横线和若干条纵线分割成的矩阵称为分块矩阵,其中每个元素是以小矩阵构成的块.（2
5、）特殊分块法及其作用:①将A按列分块,其中是A的第j列(j=1,2,…n)，则(j=1,2,…n)其中为单位阵的第j列。②将A按行分块，其中为A的第i行，则A=,(i=1,2,…,m)其中为单位阵的第i列.注由①②可得到③将列分块，则的计算也可转化为方程组（i=1,2,…,n）的求解问题。④将A分成块对角阵则则其中假设都可逆。6）初等变换与初等矩阵（1）矩阵A的初等变换有如下三类：第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记作第二类：以非零常数乘A的第i行（列），记作第三类：将A的第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，
6、记作（２）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵；其中（３）初等变换与初等矩阵之间的关系：初等矩阵左（右）乘A,相当于对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如:注１:若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，此时必成立等式，其中与均为初等矩阵。注2:对矩阵A进行第二类初等变换时，乘上的数必须为零；对矩阵A进行第三类初等变换时，只有原矩阵A中的第j行变化了，为A的第j行加上A的第i行的k倍，其余行不变，如,则，而不是。注3:初等矩阵都是可逆阵，且成立第二章2.6.1内容框图行列式的定义行列式的性质行列式的计
7、算行列式的应用2.6.2基本要求（1）会用对角线法则计算二阶和三阶行列式。（2）了解n阶行列式的定义。（3）知道行列式的性质。（4）掌握计算行列式的方法。（5）掌握克莱姆法则。2.6.3内容提要1）行列式的定义一阶行列式，设n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式定义为其中为的余子式，为的代数余子式。注1一阶行列式。注2行列式是方阵A对应的一个数，用记，不同阶行列式可能不同，如但不同阶矩阵必不相同。1）特殊行列式的值(1)上三角行列式：(2)下三角行列式：(3)对角行列式：(4)(5)(6)(7)范德蒙行列式：其中为连乘积的符号
8、。1）行列式的性质（1）方阵A的行列式与其转置的行列式相同，即注所有队列成立的行列式性质，对行也成立。（2）互换行列式中两列（或行）的位置，行列式变号推论如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。（3）某数乘行列式，等于用数乘它的某一列（或行）的所有元素，即(*)其中为的列向量。注在(*
