2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第3讲 基本不等式及其应用练习 理.doc

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1、2017版高考数学一轮复习第七章不等式第3讲基本不等式及其应用练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·湖南卷改编)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________.解析　因为＋＝，所以a，b同号且均大于零，由基本不等式可得＝＋≥2，所以ab≥2.当且仅当＝时取等号.所以ab的最小值为2.答案　22.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________.解析　由于a>0，b>0，依题意，得＋＝·(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案　3.若正数x，y满足4x2＋9y

2、2＋3xy＝30，则xy的最大值是________.解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案　24.(2015·重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________.解析　∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.答案　35.(2016·南京、盐城一模)若实数x，y满足x>y>0，且log2

3、x＋log2y＝1，则的最小值为________.解析　因为log2x＋log2y＝log2xy＝1，所以xy＝2.因为x>y>0，所以x－y>0.所以＝＝x－y＋≥2＝4，当且仅当x－y＝，即x＝＋1，y＝－1时取等号.答案　46.(2015·南通一模)已知函数y＝ax＋b(b>0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则＋的最小值为________.解析　法一　(基本不等式法)由图可知a>1，点(1，3)在函数y＝ax＋b的图像上，所以a＋b＝3，且1

4、.法二　(判别式法)由法一可知a＋b＝3.令u＝＋＝＋，去分母整理得ua2－(4u＋3)a＋11＋3u＝0.因为a∈R，当u≠0时，Δ＝(4u＋3)2－4u(11＋3u)＝4u2－20u＋9≥0，解得u≥或u≤.又因为u＝＋>2＋＝，所以u≥.当a＝，b＝时，u＝＋＝，所以＋的最小值为.法三　(柯西不等式法)由法一可知a＋b＝3，且1

5、x＋2y＝2，＝＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.答案　98.(2015·镇江期末)已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________.解析　因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1).又因为＝1－>0，所以x>1，即x－1>0.所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为25.答案　25二、解答题9.已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值.解　(1)∵x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5

6、y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时等号成立.由解得∴＋的最小值为.10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最

7、低费用的值.解　(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100](或y＝＋x，x∈[50，100]).(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时等号成立.故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2015·西安模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________.解析　由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，则＋＝＋＝＝.又a＞1，b＞1，所以a

8、b≤＝3，所以lgab≤