2014届高三专题复习篇专题五 第二讲.doc

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1、第二讲　空间点、直线、平面的位置关系1．点、线、面的位置关系(1)公理1　∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2　∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．(3)公理3　∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(4)公理4　∵a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理　∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及

2、其性质(1)线面平行的判定定理　∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理　∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理　∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理　∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理　∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理　∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理　∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质

3、定理　∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.4．异面直线所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈(0，]．(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角．5．直线与平面所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈[0，]．(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．6．二面角(1)定义．(2)范围：θ∈[0，π]．(3)找二面

4、角平面角的方法①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：①弄清该二面角及它的棱．②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)．③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．1．(2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是(　　)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个

5、平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案　A解析　B、C、D选项是公理．2．(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案　D解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C

6、错误；故D正确．3．(2013·山东)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　如图所示：SABC＝×××sin60°＝.∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝×OP＝，∴OP＝.又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.4．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)A

7、．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.5．(2013·浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ

8、1＝PQ2，则(　　)A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°答案　A解析　本题关键是理解B＝fπ(A)的含义．若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P.则PQ1≠PQ2.所以平面α与平面β垂直，故选A