大一上学期同济版高数第三章中值定理ppt课件.ppt

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1、第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用1一、罗尔(Rolle)中值定理第一节二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章2费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)中值定理且存在证:设则证毕3罗尔（Rolle）中值定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点4若M>m,则M和m

2、中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得5使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔中值定理.6例1求证罗尔定理对于函数在区间上的正确性。证：在上满足罗尔定理的三个条件且使的点在是则有使得符合罗尔定理的结论。7例2解8例3如果方程证明方程有一个正根有一个小于的正根。证：又由罗尔定理可知在故9例4设函数证明在(0,1)内至少存在一点使分析证：设由题意知由罗尔定理可知在（0，1）内

3、至少存在一点使即10例5求证存在使设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得11例7.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设12例8.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.13二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔

4、定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕14拉格朗日中值定理的有限增量形式:令则可以推出15例1.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上16例217高等数学第十六讲18例3：求证证：设此函数在满足拉格朗日定理的条件，则有而19例4.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有20证:设中值定理条件,即故因此应有例5.证明不等式21三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证

5、22证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.23柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率24例1设成立。解：原式变形为令由题意和基本初等函数可知，满足柯西中值定理条件。有等式成立。25例2.设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明26内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结

6、论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理27思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程28例4.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]上连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设29若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.推论:30设证明对任意有证：例6.不妨设31例3证明：当时，证明：要证明的不等式中含

7、有两个不同类型的函数，这时可用柯西中值定理，要证的不等式变形为：设显然在区间[x,1]上，32满足柯西定理的条件，故至少存在一点使等式成立，又即而当x=1时有33例4.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:34例4.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在352.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数36费马(1601–1665

8、)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分