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《华南农大高数第1章导数与微分第三讲ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数第三节学习重点函数的连续性概念导数的定义及几何意义◆函数的连续性(continuity)气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。◆连续的定义自变量的增量函数的增量xyo如果函数y=f(x)在x0点连续,则必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在x0的某个邻域内有定义极限值存在极限值与函数值相等◆增量的概念则有◆连续函数在几何图象上是
2、一条连续不断的曲线.◆连续性举例1.讨论绝对值函数在x=0处的连续性.解因为所以所以所以绝对值函数在x=0处连续◆连续性举例2.证明:余弦函数在内连续.证明所以由的任意性可知原命题成立.一般地,证明一个函数在某个区间内连续时,宜使用等价定义式;若要证明函数在某点处连续,则宜使用原定义式.◆连续性举例3.设有函数,问为何值时,函数在点连续?解因为要使函数在点连续,则应有所以右连续（Continuityfromtheright）◆单侧连续xab右连续左连续连续左连续（Continuityfromtheleft）◆初等函数的连续性函数
3、在开区间上每一点都连续，称为在开区间内连续。函数在开区间上每一点都连续，且在点右连续，点左连续,称为在闭区间上连续。由连续性的定义及极限的运算法则，可以得到如下结论：初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间。◆函数的间断点discontinuityxyo123412Discontinuityatx=1andx=2若函数有下列三种情形之一：则称函数在点处不连续，点称为函数的间断点。不连续点即为间断点◆函数的间断点的分类第一类间断点——左、右极限都存在的间断点。可去间断点——左、右极限相等的第一类间断
4、点。跳跃间断点——左、右极限不相等的第一类间断点。第二类间断点——非第一类的间断点。无穷间断点——使函数为无穷大的间断点。振荡间断点——极限不存在，也非无穷大的间断点。可去间断点(1)——第一类点x=1是函数f(x)的可去间断点可通过改变函数f(x)在x=1处的定义，令f(x)=1，则f(x)在x=1成为连续。xyo11/21◆函数的间断点的类型在x=1连续函数可去间断点(2)——第一类◆函数的间断点的类型例如但不存在点称为函数的可去间断点。可通过补充函数在处的定义，令，则函数在处连续。即函数在点连续1跳跃间断点——第一类yxo
5、点x=0是函数f(x)的跳跃间断点。◆函数的间断点的类型◆函数的间断点的类型无穷间断点——第二类振荡间断点——第二类点x=0是函数f(x)的振荡间断点。◆函数的间断点的类型1-1解这是一个初等函数，其定义域为找出函数的间断点，并判别其类型。而所以，x=1是函数的第一类的可去间断点；x=2是函数的第二类的无穷间断点。不存在而例题设求函数的间断点，并判别其类型。解由的定义可知，函数在内连续而所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)，x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。求的值，使函数在点处连续。例题解由连续性的定义可知，要
6、使函数在x=0点连续，则应有而最值定理（Themax-mintheorem）◆闭区间连续函数的性质abxyo在区间内部取得最大值和最小值yabxo在区间端点取得最大值在闭区间[a,b]上连续的函数,一定能取得它的最大值和最小值。说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。介值定理Theintermediatevaluetheorem设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且最大值M不等于最小值m,那末，对介于m与M之间的任意数C，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得xyoabCCC零点存在定理设函数f(x)在闭区间[
7、a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那末，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得o由零点存在定理可知，原方程在[-1，5]内必有根。练习解解又而例题◆导数概念的物理背景——变速直线运动的即时速度极限思想：令t→t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度，即直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时速度呢？问题：设某质点做直线运动，运动方程为S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移除以所花的时间
8、△t,得到平均速度，即◆导数概念的几何背景——曲线的切线问题问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M,如何确定曲线在点M处的切线？过点M作曲线的割线MN，当动点N沿曲线向定点M靠拢时，割线MN则绕定点M旋转而趋于极限位置MT,得到曲线在点M的切线。MNTMNx
