考研数学 公式线性代数部分.doc

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1、线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算①②③④⑤或。。转置值不变逆值变，3阶矩阵有关乘法的基本运算线性性质，结合律不一定成立！，，与数的乘法的不同之处不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵的每个

2、多项式可以因式分解，例如无消去律（矩阵和矩阵相乘）当时或由和由时（无左消去律）特别的设可逆，则有消去律。左消去律：。右消去律：。如果列满秩，则有左消去律，即①②可逆矩阵的性质i）当可逆时，也可逆，且。也可逆，且。数，也可逆，。ii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且。推论：设，是两个阶矩阵，则命题：初等矩阵都可逆，且命题：准对角矩阵可逆每个都可逆，记伴随矩阵的基本性质：当可逆时，得，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：伴随矩阵的其他性质①,②③,④⑤，⑥。时，关于矩阵右上肩记号：，，，*i)任何两个的次序可交换，如，等i

3、i)，但不一定成立！线性表示有解有解有解，即可用A的列向量组表示，，则。，则存在矩阵，使得线性表示关系有传递性当，则。等价关系：如果与互相可表示记作。线性相关，单个向量，相关，相关对应分量成比例相关①向量个数=维数，则线性相（无）关，有非零解如果，则一定相关的方程个数未知数个数②如果无关，则它的每一个部分组都无关③如果无关，而相关，则证明：设不全为0，使得则其中，否则不全为0，，与条件无关矛盾。于是。④当时，表示方式唯一无关（表示方式不唯一相关）⑤若，并且，则一定线性相关。证明：记，，则存在矩阵，使得。有个方

4、程，个未知数，，有非零解，。则，即也是的非零解，从而线性相关。各性质的逆否形式①如果无关，则。②如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。③如果无关，而，则无关。⑤如果，无关，则。推论：若两个无关向量组与等价，则。极大无关组一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组①无关②另一种说法：取的一个极大无关组也是的极大无关组相关。证明：相关。③可用唯一表示④⑤矩阵的秩的简单性质行满秩：列满秩：阶矩阵满秩：满秩的行（列）向量组线性无关可逆只有零解，唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①②时，③④⑤可逆

5、时，弱化条件：如果列满秩，则证：下面证与同解。是的解是的解可逆时，⑥若，则（的列数，的行数）⑦列满秩时行满秩时⑧解的性质1．的解的性质。如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。2．①如果是的一组解，则也是的解是的解特别的：当是的两个解时，是的解②如果是的解，则维向量也是的解是的解。解的情况判别方程：，即有解无解唯一解无穷多解方程个数：①当时，，有解②当时，，不会是唯一解对于齐次线性方程组，只有零解（即列满秩）（有非零解）特征值特征向量是的特征值是的特征多项式的根。两种特殊情形：（1）是上（下）三角矩阵，

6、对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。（2）时：的特征值为特征值的性质命题：阶矩阵的特征值的重数命题：设的特征值为，则①②命题：设是的特征向量，特征值为，即，则①对于的每个多项式，②当可逆时，，命题：设的特征值为，则①的特征值为②可逆时，的特征值为的特征值为③的特征值也是特征值的应用①求行列式②判别可逆性是的特征值不可逆可逆不是的特征值。当时，如果，则可逆若是的特征值，则是的特征值。不是的特征值可逆。n阶矩阵的相似关系当时，，而时，。相似关系有i）对称性：，则ii）有传递性：，，则，，则命题当时，和有许多相同的

7、性质①②③，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为，则它们同时正定或同时不正定，则，同时正定，同时不正定。例如。如果正定，则对每个（可逆，，！）我们给出关于正定的以下性质正定存在实可逆矩阵，。的正惯性指数。的特征值全大于。的每个顺序主子式全大于。判断正定的三种方法：①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。基本概念对称矩阵。反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为0。

8、如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：（解的情况）①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。②用判别解的情况。i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是的非零行数，则时唯一解。时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。则都不为。就是解。一个阶行列式的值：①是项的代数和②每一项是个元素