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《复变函数与积分变换答案(马柏林版).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例:发散但收敛发散收敛.2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)(2)(3)(4)(5)解(1)因为发散,所以发散(2)发散又因为所以发散16/16(3)发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4)因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时,级数化为收敛当n=2k+1时,级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5)其中发散,收敛所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,16/16所以且当n充分大时,所以收敛而
2、收敛，收敛所以收敛，从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性解因为部分和，所以，，不存在.当而时（即），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．.故当和时,收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解：设，则当时，级数收敛，时发散.若在z=0处收敛,则若在z=3处发散,则16/16显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答:(1)不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散
3、.(2)不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。解：因为所以8.证明：若幂级数的系数满足，则(1)当时,(2)当时,(3)当时,证明：考虑正项级数由于，若，由正项级数的根值判别法知，当，即，收敛。当，即，不能趋于零,级数发散.故收敛半径.当时,,级数收敛且.16/16若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1)(2)(3)(4)解:(１)收敛圆周(2)所以收敛圆周(3)记由比值法,有要级数收敛,则级数绝对收敛,收敛半径为所以收敛圆周16/
4、16(4)记所以时绝对收敛,收敛半径收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1)(2)解:(1)故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2)令：故R=∞,由逐项求导性质16/16由此得到即有微分方程故有：， A,B待定。所以11.设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1证明：因为级数收敛设若的收敛半径为1则现用反证法证明若则，有，即收敛，与条件矛盾。16/16若则，从而在单位圆上等于，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。综上述可知，必有，所以12.若在点处发散，证明级数对于所有满足点都发散.证明：不妨设当时，在处收敛则对，绝对收敛，
5、则在点处收敛所以矛盾,从而在处发散.13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又16/16于是，有展开式14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项)解：为的奇点，所以收敛半径又于是，在处的泰勒级数为15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1)分别在和处(2)在处(3)在处(4)在处(5)在处16/16解（1）(2)(3)(4)(5)因为从沿负实轴不解析所以,收敛半径为R=116.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当取
6、实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，16/16的展开式系数都是实数。所以在内，的幂级数展开式的系数是实数.文档来自于网络搜索17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：19.在内将展开成罗朗级数.解:令则而在内展开式为所以,代入可得20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果16/16因为,所以有结果你认为正确吗?为什么?答:不正确,因为要求而要求所以,在不同区域内21.证明:用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为证明:因为和是的奇点，所以在内，的罗朗级数为其中
7、其中C为内任一条绕原点的简单曲线.16/1622.是函数的孤立奇点吗?为什么?解:因为的奇点有所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。从而不是的孤立奇点.23. 用级数展开法指出函数在处零点的级. 解：故z=0为f(z)的15级零点24. 判断是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：⑴ ； ⑵ 解:是的孤立奇点因为16/16所以是的本性奇点.(2)因为所以是的可去奇点.25.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：⑴ ⑵⑶解:(1)所以是奇点,是二级极点.解:(2)是奇点,是一级极点,0是二级极点.解:(3)是的二级
8、零点而是的一级零点,是的一级零点所以是的二级极点,是的一级极点.16/1626.判定下列各函数的什么奇点？⑴ ⑵⑶解:(1)当时,所以,是的可去奇点.(2)因为所以,是的本性奇点.(3)当时,所以,是的可去
