《线性代数》总复习只是分享.ppt

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1、《线性代数》总复习转置：A=(aij),AT=(aji)性质：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵为方阵A的伴随矩阵.矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注意：A可逆detA≠0(A1)1=A.(AT)1=(A1)T.(kA)1=k1A1.(AB)1=B1A1.运算性质逆阵的求法:定义法用

2、伴随矩阵用初等行变换(AE)→(EA-1)逆阵的证法:A≠0，R(A)=n,反证法矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义法性质：经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换其它几个重要定理及结论：矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价.记为A~B.（注意与相似、合同的区别）A与B等价R(A)=R(B)定理.方阵

3、A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.推论1.方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2.m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。与等价有关的重要定理定理.对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.矩阵行列式概念性质展开式计算应用=a11A11+a12A12+…+a1nA1na11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann应用数学归纳法按第一行展开方式定义性质1行列式与它的转

4、置行列式相等。性质2行列式互换两行(列)，行列式变号。推论:行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。推论:行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质4行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。行列式行列式概念性质展开式计算应用性质5若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若性质6行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。则此行列式等于两个行列式之和，即行列式行列式概念性质展开式计算应用代数余子式一般地,在n阶行列式中,

5、把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.行列式行列式概念性质展开式计算应用可按任意一行(列)展开克拉默法则(求解线性方程组有唯一解的一种方法)齐次线性方程组有非零解的充分条件化三角行列式法递推法数学归纳法降阶展开法拆项法…行列式行列式概念性质展开式计算应用其它几个重要定理及结论：定理n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1

6、j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积行列式例1解例2：求四阶行列式03103420350021112141312------+rrrrrr设A是3阶方阵，且求例3解:n维向量n维向量n维向量运算线性表示线性相关性k11+k22+…+knn=0ki均为0，则1,2,…,n线性无关只要有一个ki不为0，1,2,…,n线性相关极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个极大线性无关组。求法：非零子式法、初等

7、变换法极大无关组包含的向量的个数极大无关组向量组的秩向量组与矩阵的关系矩阵A=(1,2,…,s)列向量组:1,2,…,s注：行向量的问题与列向量相同矩阵A的秩r(A)向量组的秩r最高阶非零子式极大线性无关组n维向量定义：向量内积对称性:[,]=[,];(2)线性性:[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)

8、[,]

9、[,][,].性质：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[,]=0,则称与正交.n维向量正交矩阵A为正

10、交矩阵ATA=En维向量n维向量n维向量线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A)nR(A)＝R(Ab)解的结构基础解系有无非零解有解判定线性方程组线