一笔画问题资料讲解.ppt

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1、一笔画问题欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问题了.那么，什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢？下面，我们就来介绍这一方面的简单知识。数学中，我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做图（如图（a））；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边.如图（b）中，有三个结点：E、F、G，四条边：线段EG、FG以及连接E、F的两段弧.

2、从图（a）、（b）中可以看出，任意两点之间都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M与N），像这样的图就不是连通图。所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的八个结点全是奇点

3、，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔画出.在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言：这个图无法一笔画出，也即游人不可能不重复地一次走遍七座桥.更进一步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理：①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为

4、起点，另一个奇点为终点。③其他情况的图，都不能一笔画出。下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：【例题1】在上图中，我们可以看出，一条线除了两端A、B外，其它地方的点指数均为2为偶点，所以在下面的讨论中，我们只关注图上的交点或顶点，而其它点忽略不计。下面四个图形能一笔画出吗？请你试一试，你发现了什么？分析：经过试画，以及对图上交点进行分析，我们发现：图（1）可以一笔画出，A、B、C、D、E全为偶点，路线为A→C→D→E→C→B→A，从A点出发，又回到了A点，其实从任一点出发都可以一笔画出并回到这一点。图（2）可以一笔画出，A、C为奇点，B、D为偶点，路线可为A→D→C→B→A→C，还

5、有很多种走法，也可以从C出发最后到A，经过尝试，在有两个奇点时，可以一笔画出，若以一个奇点为起点，那么一定以另一个奇点为终点。图（3）不能一笔画出，A、B、C、D均为奇点，E为偶点。图（4）不能一笔画出，A、B、C、D、E、F均为奇点，G为偶点。解答：图（1）能一笔画出，无奇点，可以从任一点开始，一笔画出，再回到这一点；图（2）能一笔画出，有两个奇点A、C，可以从其中一个奇点开始到另一个奇点结束；图（3）不能一笔画出，有4个奇点；图（4）不能一笔画出，有6个奇点。看来能否一笔画出与奇点个数有直接关系，你总结出规律了吗？说明：在连通图中，（1）若奇点的个数为0个，能够一笔画出，可以从

6、任一点开始，一笔画出，最后回到这一点；若奇点的个数为2个，能够一笔画出，且必从其中一个奇点开始到另一个奇点结束；（2）若奇点的个数多于2个，这个图形就不能一笔画出。【例题2】下面各图能不能一笔画成？如果能应该怎样画？如果不能，最少需要添几笔使它能够一笔画出？分析：图（1）全是偶点，无奇点，能一笔画成，从任意点开始即可；图（2）只有B、E两个奇点，其它均为偶点，可以一笔画出，注意从一奇点开始到另一奇点结束；图（3）有A、B、C、D四个奇点，不能一笔画出，要想一笔画出，至少应该减少两个奇点，所以应该将上述四点中，任两点之间加一条线，使之成为偶点；图（4）中有A、B、C、D、E、F、G、

7、H八个奇点，不能一笔画出，至少应该减少6个奇点，所以应该从8个奇点中选出6个，两两一组，连三条线，使它们变为偶点。解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点，仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束，如：B→C→D→E→A→B→E；图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢，你能列举出