三角恒等式备课讲稿.ppt

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1、三角恒等式平方关系：Sin2α+Cos2α=1tg2α+1=Sec2αCtg2α+1=Csc2α1、同角三角比八个基本关系式附：图示分析平方关系：三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方倒数关系：对角线两顶点之积为11、同角三角比八个基本关系式商数关系：相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。1、同角三角比八个基本关系式一般的，如果已知角α三角比，并已知终边所在象限，角α可唯一确定。若未知α范围，可根据终边象限讨论，并相应求出三角比。证明三角恒等式时，如果式中含有正余切割，同时又含有正余弦，一般化弦

2、，若仅含切割则不必了。证明三角恒等式按由繁至简原则，或左至右，右至左，或左右归一，总之两端异化同。2、两角和与差的余弦、正弦本节从证明两角差的余弦公式出发，通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公式中三角比保持不变，对2kα＋

3、(π/2)±α及2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或“－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”。2、两角和与差的余弦、正弦对于aSinα±bCosα这样的式子，总可以化为一个角的三角比形式。2、两角和与差的余弦、正弦即aSinα±bCosα=a2+b2Sin(α+φ)。其中φ由abCosφ=Sinφ=a2+b2a2+b20≤φ<2π来确定。3、两角和与差的正切、余切

4、两角和的正切公式：两角差的正切公式：这两式成立的条件是：正切符号“tg”后面的角α、β、α+β、αβ都不等于tgα+tgβtg(α+β)=1tgαtgβtgαtgβtg(αβ)=1+tgαtgβπkπ+(k∈Z)24、二倍角公式正弦公式：Sin2α=2SinαCosα余弦公式：Cos2α=Cos2αSin2α=2Cos2α1=12Sin2α正切公式：2tgαtg2α=1-tg2απ1π(α≠Kπ+且α≠Kπ+,K∈Z)224运用公式变形：在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是

5、提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。4、二倍角公式例如：tgα+tgβ=tg(α+β).(1tgαtgβ)tgαtgβ=tg(αβ).(1+tgαtgβ)Sin2αSinα=2CosαSin2αCosα=2SinαCos2αSin2α=11+Cos2αCos2α=21Cos2αSin2α=24、二倍角公式从本质上理解二倍角公式的含义。2α是α的二倍，α是α/2的二倍，4α是2α的二倍，等等。有的特殊关系式也要记住：1tgαπ=tgπ1+tgα41+tgαπ=tg+π1tgα45、半

6、角公式α1CosαSin=22±α1+CosαCos=22±α1Cosαtg=21+Cosα±5、半角公式变形公式：αSinα1Cosαtg==21+CosαSinα二、例题分析例1：已知α大于零度小于180度，且1Sinα+Cosα=，求Sinα和5Cosα的值。例1：已知α大于零度小于180度，且1Sinα+Cosα=，求Sinα和5Cosα的值。分析：若求出sinαcosα值，1Sinα+Cosα=联立，5可以求出Sinα和Cosα的值。将之与例1：已知α大于零度小于180度，且1Sinα+

7、Cosα=，求Sinα和5Cosα的值。解：1Sinα+Cosα=代入5把(Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα得12SinαCosα=25∵0º<α<180º，且12SinαCosα=<025∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0知：SinαCosα>0而(SinαCosα)2=12SinαCosα12254925=1∴SinαCosα=75联立：SinαCosα=75Sinα+Cosα=13得：Cosα=35Sinα=45×2=注意：对于任意

8、角α，总有(Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα(SinαCosα)2=12SinαCosα这两个等式联系着Sinα和Cosα，Sinα+Cosα，SinαCosα，SinαCosα关系。本例解法多种：可以利用Sin2α+Cos2α=1Sinα+Cosα=15求Sinα由于0º<α<180º可知Sinα=45又如：Sinα+Cosα=1512SinαCosα=25得：112x2x=0则Sinα和Co