上海大学代数系统练习题教程文件.ppt

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1、上海大学代数系统练习题例7.2中的群G,*叫做Klein四元群，简称四元群。Klein四元群有以下4个特点：表7.1*eabceeabcaaecbbbceaccbae⑴e为G中的单位元。⑵*运算是可交换的。⑶G中每个元素的逆元都是自己。⑷a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第三个元素。由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x0=e，xG，nI+，定义x–n＝(x–1)n【例1】设是n阶阿贝尔群，令f是从G到G的一个映射，定义为：f(

2、x)=x–1，验证f是自同构。证明：x,yG，f(x*y)=(x*y)–1=y–1*x–1=x–1*y–1=f(x)*f(y)当x≠y时，如果x–1=y–1，则x=(x–1)–1=(y–1)–1=y，矛盾。所以x–1≠y–1，即f(x)≠f(y)，f是单同态。xG，x=(x–1)–1，x–1G，使f(x–1)=(x–1)–1=x，故f是满同态。从而f是自同构。【例2】设G是所有代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是G上的等价关系。证明：G，恒等映射IA是由A到A的双射函数，显然，

3、IA是由到同构，所以≌，即自反性成立。设≌，设g是由到的同构映射，则g–1是由到的同构映射，≌，即对称性成立。设≌且≌，f是由到的同构映射，g是由到的同构映射，则g∘f是由到的同构映射，≌，即传递性成立。所以G中代数系统之间的同构关系是等价关系。定理7.6.2设f为由代数系统

4、到代数系统的一个同态映射。⑴如果是半群，那么同态像也是半群。⑵如果是独异点，那么同态像也是独异点。⑶如果是群，那么同态像也是群。证明：⑴设是半群，a,bf(A)，必有x,yA，使f(x)=a,f(y)=b因为是半群，必有x*yA，于是a∘b=f(x)∘f(y)=f(x*y)f(A)，即∘在f(A)上封闭。a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z

5、)=c(a∘b)∘c=(f(x)∘f(y))∘f(z)=f(x*y)∘f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z))=f(x)∘f(y*z)=f(x)∘(f(y)∘f(z))=a∘(b∘c)即∘在f(A)上满足结合律。所以是半群。⑵设是独异点，e是A中的幺元。af(A)，必有xA，使得f(x)=a，于是a∘f(e)=f(x)∘f(e)=f(x*e)=f(x)=af(e)∘a=f(e)∘f(x)=f(e*x)=f(x)=a即f(e)是f(A)中的幺元。因此是独

6、异点。⑶设是群，af(A)，必有xA，使得f(x)=a，因为是群，x–1A且f(x–1)f(A)，于是a∘f(x–1)=f(x)∘f(x–1)=f(x*x–1)=f(e)f(x–1)∘a=f(x–1)∘f(x)=f(x–1*x)=f(e)所以a–1=f(x)–1=f(x–1)f(A)。因此是群。【例7.16】设Q,＋是有理数加法群，Q-0,·是非零有理数乘法群，试证明群Q,＋和群Q-0,·不同构。证明：假设群Q-0,·和群Q,＋

7、同构，同构映射为f：Q-0→Q，由定理7.6.3知f(1)=0，于是f(–1)＋f(–1)=f((–1)·(–1))=f(1)=0，从而f(–1)=0，f不是双射，与f是同构映射矛盾。所以群Q,＋和群Q-0,·不同构。定理7.6.4设f为由群到群的一个同态映射，如果是的子群，则也是的子群。证明：设e1和e2分别是G1和G2中的幺元，由定理7.6.3知e2=f(e1)f(H)，所以f(H)非空。a,bf(H)，必有x,

8、yH，使得f(x)=a,f(y)=b，于是a∘b–1=f(x)∘f(y)–1=f(x)∘f(y–1)=f(x*y–1)由于是的子群，所以x*y–1H，因此f(x*y–1)f(H)，从而是的子群。【例7.20】证明代数系统是循环群。证明：前面已经说明是群，0是单位元。0的逆元是0，xN6且x≠0，x–