上海大学-高等数学-环与域复习进程.ppt

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1、上海大学-高等数学-环与域环的实例例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n（n≥2）阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)设Z＝{0,1,...,n1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.2环的性质定理14.11设是环，则(1)a∈R，a0=0a=0(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab(3)a,b,c∈R，a(b

2、c)=abac，(bc)a=baca(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R（n,m≥2）例2在环中计算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b23子环定义14.25设R是环，S是R的非空子集.若S关于环R的加法和乘法也构成一个环，则称S为R的子环.若S是R的子环，且SR，则

3、称S是R的真子环.例如整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环.{0}和R也是实数环R的子环，称为平凡子环.定理14.12(子环判定定理)设R是环,S是R的非空子集,若(1)a,b∈S，ab∈S(2)a,b∈S，ab∈S则S是R的子环.4实例例3(1)整数环，对于任意给定的自然数n，nZ={nz

4、z∈Z}是Z的非空子集，根据判定定理，容易验证nZ是整数环的子环.(2)考虑模6整数环，{0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环.其中{0}和Z6是平凡的，其余

5、的都是非平凡的真子环.5环同态定义14.26设R1和R2是环.f:R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)成立，则称f是环R1到R2的同态映射，简称环同态.例4设R1=是整数环，R2=是模n的整数环.令f:Z→Zn，f(x)=xmodn，则x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)f(xy)=(xy)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)f是R1到R2的同

6、态，是满同态.6特殊的环定义14.27设是环，(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环.(3)若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环.(4)若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.零因子的实例：在模6整数环中，有32=0，而3和2都不是乘法的零元.这时称3为左零因子，2为右零因子.这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环.7实例例5(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和

7、整环.(2)令2Z={2z

8、z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环.可以证明对于一般的n,Zn是整环当且仅当n是素数.8域定义14.28设R是整环，且R中至少含有两个元素.若a∈R*,其中R*=R{0}，都有a1∈R，则称R是域.例如有理数集Q、实数集R、复数集C关于普通的加法和

9、乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域.整数环Z是整环，而不是域.对于模n的整数环Zn，若n是素数，那么Zn是域.9实例(2)不是环,关于加法不封闭.例6判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.如果不构成,说明理由.(1)A={a+bi

10、a,b∈Q},其中i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A={2z+1

11、z∈Z},运算为实数加法和乘法.(3)A={2z

12、z∈Z},运算为实数加法和乘法.(4)A={x

13、x≥0∧x∈Z},运算为实数加法和乘法.(5),运算为实数加法和乘法.解(1)是环,是整环,也是域

14、.(3)是环,不是整环和域,乘法没有单位元.(5)不是环,关于乘法不封闭.(4)不是环,A关于加法不构成群.10格与布尔代数格的定义格的性质格的等价定义子格与格的同态特殊的格布尔代数的性质布尔代数的同态与同构11格的定义定义14.29设是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.由于最小上界和最大下界的