巧用面积法 妙解几何题上课讲义.ppt

巧用面积法 妙解几何题上课讲义.ppt

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1、巧用面积法妙解几何题温故知新填空:1.若△ABC≌△DEF,且△ABC的面积为25,则△DEF的面积为。2.已知AD为△ABC的中线,则S△ABD与S△ACD的大小关系为。3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形△ABC、△ADC,则S△ABC与S△ADC的大小关系为。(2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E,连结EB、EC,则S△EBC与S平行四边形ABCD的关系为。4.已知直线a∥b,点M、N为b上两点,点A、B为a上两点,连结AM、AN、BM、BN,则S△AMN与S△BMN的大小关系为。2

2、5S△ABD=S△ACDS△ABC=S△ADCS△ABD=1/2S平行四边形ABCDS△AMN=S△BMN用面积法解几何问题常用到下列性质:全等三角形的面积相等;三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分;平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分;三角形的面积等于同底(或等底)等高的平行四边形的面积的一半;同底(或等底)等高的三角形面积相等。例题讲解证线段相等例1.已知:△ABC中,∠A为锐角,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,求证:BD=CE.ABCDE分析:此题运用三角形全等可以解决,但考虑到有“高”,不

3、妨用面积法来试试,可用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD来完成。证明:∵△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E∴S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD又AB=AC∴BD=CE用面积法好简单哟!变式训练1.已知:等腰△ABC中,AB=AC,D为底边BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:DE=DF.ABCDFE分析:此题用三角形全等可完成,但题中出现两条“垂线段”,可考虑面积法,连接AD,则S△ABD=S△ACD,由AB=AC,可得DE=DF.2.平行四边形ABCD中,BE⊥A

4、C于E,DF⊥AC于F,求证:BE=DF变式训练ABCDEF分析:此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决,但出现两条“垂线段”,且都垂直于同一条线段,可考虑面积法,根据S平行四边形ABCD=2S△ABC=2S△ADC可得证。证线段的和差关系例2.(1)已知:△ABC中,AB=AC,P为底边BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,BF⊥AC于F,求证:PD+PE=BF.ABCPFED分析:此题可构造矩形来证明,但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”,可尝试面积法。连接AP,根据S△ABC=S△ABP+S△ACP,结

5、合AB=AC,可得证。证明:∵BF⊥AC于F∴S△ABC=1/2AC·BF∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E∴S△ABP=1/2AB·PD,S△ACP=1/2AC·PE∵S△ABC=S△ABP+S△ACP∴1/2AC·BF=1/2AB·PD+1/2AC·PE∵AB=AC∴PD+PE=BF(2)若P为△ABC的底边BC的延长线上一点,其他条件不变,则(1)中的结论仍然成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请写出正确的结论,并证明。ABCPFDE分析:虽然题目条件发生了变化,但思路不变,方法不变,还是用面积法。连接AP,根据

6、S△ABC=S△ABP-S△ACP,结合AB=AC,可得到正确的结论:PD-PE=BF。证明:∵BF⊥AC于F∴S△ABC=1/2AC·BF∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E∴S△ABP=1/2AB·PD,S△ACP=1/2AC·PE∵S△ABC=S△ABP﹣S△ACP∴1/2AC·BF=1/2AB·PD﹣1/2AC·PE∵AB=AC∴PD﹣PE=BF3.(1)已知等边△ABC内有一点P,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为D、E、F,又AH为△ABC的高,求证:PD+PE+PF=AH.变式训练AHEFDBCP

7、分析:考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”,可尝试面积法。连结PA、PB、PC,根据S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP,由AB=BC=AC,可得证PD+PE+PF=AH(2)若P是等边△ABC外部一点,其他条件不变,(1)中的结论仍然成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请写出正确的结论,并说明理由。ABCFDEHP分析:此题的条件虽然发生了变化,但是思路、方法不变,还是应用面积法。连结PA、PB、PC,根据S△ABC=S△ABP+S△ACP-S△BCP,由AB=BC=AC,可得正确结论:PD+PF-

8、PE=AH证角相等例3.点C是线段AB上一点,分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE,连接BD、AE交于O点,再连接OC,求证:∠AOC=∠BOC.ABCDEO分析:要证∠AOC=∠BOC,可证点C到AO、BO的距离相等,如此就要过C点作CP⊥AE于P,CQ⊥BD于Q,证CP=CQ,可考虑面积法,证△ACE≌△

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