常数项级数教学文案.ppt

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1、常数项级数定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作2当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然3例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为42).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.此时5如果级数是发散的。解例2.说明调和级数:是收敛的，则但所以，级数是发散的6例3.判别下列级数的

2、敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和7(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和8例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为92无穷级数的基本性质性质1若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.即10性质2设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为即11说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)12例5判别下

3、列级数的敛散性，如果收敛，求其和解（1）因为均收敛，所以收敛，且（2）因为收敛，发散，发散。13性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数14性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如15例6.判断级数的敛

4、散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.16设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.性质6.收敛级数的必要条件注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.17例7.说明下列级数是发散的解（1）所以原级数是发散的（2）所以原级数是发散的（3）级数是发散18（4）故从而这说明级数(1)发散.19二正项级数及其判敛法若基本定理收敛的充要条件是部分和有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”正项级数序列20都有定理2(比较判别法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级

5、数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示级数是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨部分和,则有21(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,(2)反证法也收敛.收敛,级数重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.22例8.讨论p-级数的收敛性解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,23因为当故考虑级数的部分和故级数时,2)若p级数收敛.收敛,由比较审敛法知24例9.判别下列级数的敛散性解(1)而发散,所以原级数发散25(2)收敛，所以收敛.(3)收敛，所以收敛.(4)所以原级数收敛收敛26例10

6、.判别下列级数的敛散性解(1)当时，则级数发散，所以级数发散.27(2)时，对于级数由于则收敛，所以级数收敛.28定理3.(比较判别法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

7、比较审敛法的极限形式知(4)∼根据比较审敛法的极限形式知33例12判别级数的敛散性.解当时当时，当时发散，当时，收敛根据比较审敛法的极限形式知34定理4.比值判别法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知35因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而36注意：条件是充分的,而非必要.37例13判别下列级数的收敛性:(1)(2)(3)解(1)所以收