常系数齐次微分方程求解资料讲解.ppt

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1、常系数齐次微分方程求解二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解有两个不相等的实根特征根为两个线性无关的特解得齐次方程的通解为1.当2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性

2、无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3.解:由第七节例1(P293)知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为自由振动方程,

3、方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:nk临界阻尼:n=k(nk)大阻尼解的特征:1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.(n=k)临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件

4、定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例6.解:特征方程:即其根为方程通解:例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:作业：P-340习题7-71(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢