资源描述：
《幂级数复习进程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、幂级数为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论为幂级数的系数.的情形,即称定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则
2、R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=+时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散定理2.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝+∞时,即时,则对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数级数为交错级数例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为
3、(2)所以级数仅在x=0处收敛.例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为而是由例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛
4、区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:例5.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例6.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,x=1时级数发散,因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及四、函数展开成幂级数其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在1、泰勒级数若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理5.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的
5、充要条件是f(x)的泰勒公式余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有2、函数展开成幂级数1)直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(-R,R)内是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知级数展开式的函数展开例7.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数例8.将展开成x的幂级数.对上式两边求导可推出:例9.将函数展开成x的幂级数,其
6、中m为任意常数.称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.对应的二项展开式分别为2)间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例10.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.例11.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,域为上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例12.将展成解:的幂级数.例13.将展成x－1的幂级数.解:小结1.函数的幂级数展开
7、法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
