利用反证法证明有关异面直线问题.doc

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1、利用反证法证明有关异面直线问题反证法在立体几何中用得较多，下面用反证法证明有关异面直线问题。例1求证：分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α，由，知，故。这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC和BD是异面直线。例2已知a与b是异面直线，求证过a且平行于b的平面只有一个。证明：如图1，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个α和β。在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过A点的直线c

2、、d。由b//α，知b//c。同理b//d。故c//d，这与c、d相交于点A矛盾。故假设不成立。从而过a且平行于b的平面只有一个。例3平面∩平面=a，异面直线b，c，分别在、内．⑴求证b，c中至少有一条与a相交．⑵若a∩b=P，c∩a=Q，在内过P作异于a的直线，在内过Q作异于a的直线，求证：，为异面直线．证明：⑴若b、c均不与a相交．∵a，b，∴a∥b，∵a，c，∴a∥c，∴b∥c，与题设b，c为异面直线矛盾．即b，c中至少有一条与a相交．⑵若，在同一平面内，即，，∵Q∈，∴Q∈，又Q（若Q∈，由P∈，则与a重合，与

3、题设矛盾），过及Q可确定平面（即为），但，，及Q∈，从而得、重合，同理、、重合，由此得、重合，与题设∩=a矛盾．所以，不可能在同一平面内，即，为异面直线．例4求证：两条异面直线有且只有一条公垂线．证明：如图，设a、b是异面直线，b，a∥，是过a而与垂直的平面，AA是a、b的公垂线．假设EF也是a、b的公垂线（显然F与A不重合，E与A不重合），则EF⊥，从而EF．由A、F都在内，可得b，这与a、b是异面直线矛盾．所以，两条异面直线有且只有一条公垂线．PbEBDAca例5如图所示，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，

4、Aa，Da，Bb，Ec，求证：BD和AE是异面直线．证明：设BD和AE不是异面直线，则BD与AE确定一个平面，因此有A，B，E，D．因为Aa，Da，所以a．又因为Pa，所以P．因Pb，Bb，所以b．因Ec，Pc，所以c，这与a、b、c不共面矛盾，从而有BD和AE是异面直线．