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1、.无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列u1,u2,L,unL，un称为无穷级数，un称为一般项；若部分和n1数列{Sn}有极限S，即limSnS，称级数收敛，否则称为发散.n2.性质①设常数c0，则un与cun有相同的敛散性；n1n1②设有两个级数un与vn，若uns，vn，则(unvn)s；n1n1n1n1n1若un收敛，vn发散，则(unvn)发散；n1n1n1若un，vn均发散，则(unvn)敛散性不确定；n1n1n1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数un收敛，则对其各项任意加括号后所
2、得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数un收敛的必要条件：limun0；nn1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若limun0，则un未必收敛；nn1③若un发散，则limun0未必成立．nn1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若un0，则un称为正项级数.n1②审敛法：（i）充要条件：正项级数un收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n11/8.（ii）比较审敛法：设un①与vn②都是正项
3、级数，且unvn(n1,2,L)，n1n1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A.若②收敛，且存在自然数N，使得当nN时有unkvn(k0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当nN时有unkvn(k0)成立，则①发散；1B.设un为正项级数，若有p1使得unp(n1,2,L)，则un收敛；若n1nn11un(n1,2,L)，则un发散.nn1unC.极限形式：设un①与vn②都是正项级数，若liml(0l)，则nn1n1vnun与vn有相同的敛散性.n1n1注：常用的比较级数：ar1n1①几何级数：
4、ar1r；n1发散r11收敛p1时②p级数：；pn1n发散p1时111③调和级数：1发散．n2nn1（iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设an是正项级数，若n1an1an1①limr1，则an收敛；②limr1，则an发散．nannann1n1nan111注：若lim1，或lima1，推不出级数的敛散.例与，虽然n2nannnnn1n1an1n11lim1，lima1，但发散，而收敛.n2nannnnn1n1n（iv）根值判别法（柯西判别法）设an是正项级数，liman，若1，nn12/8.级数收敛，若1则级数
5、发散．pp（v）极限审敛法：设un0，且limnunl，则①limnunl0且p1，则级nnp数un发散；②如果p1，而limnunl(0l),则其收nn1敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法n1①定义：设un0(n1,2,L)，则(1)un称为交错级数.n1n1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)un，若unun1且limun0，nn1n1则(1)u
6、n收敛.n1注：比较un与un1的大小的方法有三种：un1①比值法，即考察是否小于1；un②差值法，即考察unun1是否大于0；③由un找出一个连续可导函数f(x)，使unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若un绝对收敛，则un收敛.n1n1②若用比值法或根值法判定
7、un
8、发散，则un必发散.n1n1三、幂级数n1.定义：anx称为幂级数.n02.收敛性n①阿贝尔定理：设幂级数anx在x00处收敛，则其在满足xx0的所n03/8.n有x处绝对收敛．反之，若幂级数anx在x1
9、处发散，则其在满足xx1n0的所有x处发散．②收敛半径（i）定义：若幂级数在xx0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R，使得①当xx0R时，幂级数收敛；②当xx0R时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.ann1（ii）求法：设幂级数anx的收敛半径为R，其系数满足条件liml，nan0nn1或limanl，则当0l时，R；当l0时，R，nl当l时，R0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺
10、项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（iii）收敛半径的类型A.R0，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为(,)；C.R=某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质n①若幂级数的收敛半径R0，则和函数S(x)ax在收敛区间(R,R)内连续．nn0n②若幂级数的收敛半径R0，则和函数S(x)anx在收敛区间(
