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1、幂函数一、知识点总结1．幂函数的概念（1）一般地，幂函数的表达式为yx(R)，其中为常数；其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。（2）所有的幂函数在区间(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)。（3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点：①形如y(2x),y2x,yx2,形式的函数不是幂函数。②幂函数yx中的为任意实数。③确定一个幂函数，只需求出即可。2．幂函数的图象1我们只讨论幂函数yx中1,2,3,,1时的图象。212321在同一平面直角坐标系作出幂函数yx,yx,yx,yx,yx的图象。（
2、1）列表、（2）描点：3）连线：用光滑的曲线将各点连结起来。如图（2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”11关系。（3）函数y可记为yx。（4）a0时，图象x都过(0,0)(1,1)点，a0时，只过(1,1)不过(0,0)点。3．幂函数的性质从上图可以观察到幂函数的特征如下：函特数yx1231yxyxyx2yx征性质定义域RRR[0,){x
3、xR,x0}{y
4、yR,y0}值域R[0,)R[0,)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇x[0,)时，增x(0,)时，减单调性增增增x(,0]时，减x(,0)时，
5、减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)定点(1,1)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)供参考结合以上特征得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；（2）如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)上为增函数；（3）如果0，则幂函数的图象在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；（4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数。4．求幂函数
6、的定义域、值域幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。5．幂函数的单调性和奇偶性幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。6．比较大小比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。二、经典例题1a1.如图，幂函数yx在第一象限内的图象，已知a取2,四个值，则相应于曲线2C,C,C,C的a依次为（）12341111A．2,,,2B．2,,
7、,222221111C．,2,2,D．2,,2,2222m2.如图所示是函数yxn(m,nN且互质)的图象，则（）mA．m,n是奇数，且1nmB．m是偶数，n是奇数，且1nmC．m是偶数，n是奇数，且1nmD．n是偶数，m是奇数，且1.n12423.函数y(mx4xm2)(xmx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（）A．(51,2)B．(51,)C．(2,2)D．(15,15)4．如图所示，幂函数yx在第一象限的图象，比较0,1,2,3,4,1的大小（）供参考A．130421B．012341
8、C．240311D．30241115．y的图象是（）x122m32m6．函数y(mm1)x是幂函数，且x(0,)时为减函数，则实数m的值为（）15A．m1或2B．mC．m2D．m127．给出下列说法：3①函数yx的图象关于原点成中心对称；4②函数yx的图象关于y轴成轴对称；1③函数yx在(,)上是减函数.其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3438．函数yx的图象是（）A．B．C．D．1339．函数yx和yx图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线yx对称10
9、．函数yx
10、x
11、,xR，满足（）A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数供参考C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数211．函数yx2x24的单调递减区间是（）A．(,6]B．[6,)C．(,1]D．[1,)14233212．函数yx的定义域是.4113．幂函数f(x)的图象过点（3,27)，则f(x)的解析式是.2a4a914．yx是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是.kn(1)yxmmnkNmn互质15．幂函数(,,*,,)图象在一、二象限，不过原点，则k,m,n的奇偶性为.3
12、x2yxy，则10216．若102,10311113333xxxx17已知函数f(x)；g(x).55（1）证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；（2）分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。供参考18.比较下列各组数的大小；55771（1）32288和3.1；（2）8和();9223（3）5354.1,3.8和(1.9).123
