实变与泛函试题.pdf

《实变与泛函试题.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、实变部分一、填空题11lim1.设An,2,n1,2,3L,则An=nnnn2.设ER，若EE(E表示E的导集)，则称E为3.设P为康托集，则P，mP=14.设f(x)是R上的实函数，若AxRf(x)0,AnxRf(x)，n则A可用An表示为n5.设E为R中的点集，若对任意点集T都有，则称E为勒贝格可测集6.若mEfn(x)f(x)0，则称fn(x)在E上7.设fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若对0有，则称fn(x)在E上依测度收敛于f(x)8.设fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，则存在fn(x)的子列fnk(x)使得p9.

2、Fatou引理叙述为：设ER为可测集，fn(x)为E上一列非负可测函数列，则pqpq10.设A和B分别是R和R中的可测集，则AB是R的可测集，且m(AB)二、判断题1、f(x)可表成一列简单函数的极限函数是f(x)可测的充分非必要条件2、若mE=0，则E为可数集3、任意多个开集之交仍未开集4、设f(x)勒贝格可积于可测集E，若f(x)>0，xE,则Ef(x)dx05、几乎处处收敛的函数列必定依测度收敛三、计算题1、设E为0,1上的全部有理点，求E在R内的E,E&和E2Rx,x2、设f(x)Q,则f(x)在0,1上是否勒贝格可积，若可积，求出其0,xQ积分值3、设fn(x)为E

3、上的可积函数列，且limfn(x)f(x)a.e于E，又nEfn(x)dxkk为常数，则f(x)勒贝格可积泛函部分一、判断题1、l是可分的度量空间2、任何度量空间都可以完备化3、Ca,b是第一纲的4、设x是赋范线性空间，则xnx0称为弱收敛5、有限维赋范线性空间上任何两个范数等价二、计算证明21、设x1,2R，当P=1,2,4，计算xp2、设x,d是度量空间，证明：xnx，都有dx1,xnd(x1,x2)d(x2,x3)Ldxn1,xn3、证明度量空间（x,d）中柯西点列xn是有界点列4、设xn是实内积空间X中的点列，若xnx(n)，且对一切yX有xn,yx,y(n)，证明x

4、nxn105、对任何f1,1，定义泛函F(f)0f(t)dt1ftdt，证明F2