反证法的妙用.pdf

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1、反证法的妙用房县二中何荣反证法是数学中一种重要的证明方法，也是一种间接的证明方法。当一些命题不易从正面直接证明时，反证法便成了我们常采用的方法。那么反证法适用于哪些范围呢？下面我们不妨来探讨探讨。一、证明结论为否定形式的命题结论中以“不是”、“不存在”、“没有”或“不能”等形式出现的命题，直接证明一般难以入手，而用反证法确能成功证明。例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后

2、再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。SCAOB【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。二、证明“至多”“至少”型命题适用于某些存在性命题和限定式命题的证明2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【解】设三个方程均无实根，则有

3、：31a222116a44a302212a14a0解得：a1或a3234a42a02a03即：a123所以当a≥－1或a≤－2时，三个方程至少有一个方程有实根。【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。三,证明基本命题在部分起始学科中，如高中立体几何、函数等，当证明一些结论时

4、，由于可用的公理、定理较少，直接证明十分困难。此时，我们若采用反证法来证，就容易多了x11例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ax1(其中x∈R且x≠a)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。x1x1即原函数y＝ax1的反函数为y＝ax1，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线x1y＝x对称可以得到，函数y＝ax1的图像关于直线y＝x成轴对称图像。【注】对于

5、“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。【专题训练】1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0______。A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相

6、交3.如图，已知在正三角形ABC所在平面外一点P，PA平面ABC，AO平面PBC，求证：点O不是△PBC的垂心4．把54位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则至多分成9个小组。5.证明：2是正弦函数的最小正周期。专题训练答案：1.A2.B3.证明：假设点O是△PBC的垂心，连接BO，并延长交PC于点D，则有PCBD，连接AD，因为AO平面PBC，PC平面PBC，所以PCAO，又因为AOBDO，所以PC平面ABD，因为AB平面ABD，所以PCAB，又因为PA平面ABC，所以AC是PC在

7、平面ABC内的射影，所以0ABAC，即BAC90，这与已知△ABC是正三角形矛盾。故点O不是△PBC的垂心。4.证明：假设54位同学分成n(nN)个小组，且n10，因为任意两组的人数都n(n1)不相等，所以这n个小组的同学总共至少有123n55（人），超过254人，与已知矛盾，所以至多分成9个小组5.证明：由诱导公式sin(x2)sinx知，2是正弦函数的一个周期。假设0

8、数x，都有sin(x)sinx成立，与sin()sin矛盾，故正弦函数没有比2小的正周期。所以2是正弦函22数的最小正周期。