人教版九年级数学上册 一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义.doc

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1、人教版九年级数学上册一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义一、主要知识点回顾1.一元二次方程:只含有个未知数,并且未知数的最高次数是,这样的方程叫一元二次方程,它的一般形式是(a、b、c是已知数且a≠0),其中ax2叫做,bx叫做,a叫做系数,b叫做系数,c叫做。2.解一元二次方程的方法(1)直接开平方法:如果一元二次方程能化成或的形式,那么可以得到。或的形式,从而通过解一元一次方程得到一元二次方程的两根。(2)配方法:先将原方程变为的形式,再两边直接开平方。用配方法解一元二次方程的一般步骤:①化二

2、次项系数为1;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;③方程两边都加上一次项系数一半的平方;④把原方程变为的形式;⑤如果方程右边是非负数,就可以直接用开平方法求出方程的解。(3)公式法:求根公式为()(4)因式分解法:因式分解法的步骤是:①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解。3.一元二次方程的四种解法的灵活运用:对于方程(a≠0,)(1)若b=0,即,则宜用法解;(2)若c=

3、0,即,则宜用法解;(3)若b≠0,c≠0,则要准确把握方程的特征,选用适当的解法。①方程化为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0)后,左边易于因式分解的,用因式分解法。②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a=1、b是偶数,可以考虑用配方法。③如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数是无理数,而且因式分解困难,配方法也很麻烦的,用公式法。4.关于一元二次方程的解有三种情况:当0时,方程有两个不相等的实数解;当0时,方程有两个相等的实数解;当0时,方程没有实数解二、典型例题例1:若3

4、=0是关于x的一元二次方程,则m的值是。变式练习1:(1)关于x的方程是一元二次方程,则k=。(2)已知关于x的一元二次方程的一个根是0,则k=。例2:用适当的方法解方程:(1)(2)(3)(4)(5)(x2-3)2-3(x2-3)+2=0变式练习2:用适当的方法解下列方程:(1)(2)(3)(4)2(x1)2(x+1)(1x)=(x+2)2例3:不解方程,判断方程解的情况:(注意书写的规范性与正确性)(1)   (2)   (3)练习:(1)(2)例4.解方程x2=例5.十字相乘法用十字相乘法解方

5、程:(1)x2-8x+12=0;(2)x2+7x+12=0.(3)2x2-5x-3=0.练习:用十字相乘法解方程:(1)x2-4x-12=0;(2)x2+x-12=0.(3)3x2+2x-1=0.例6.一元二次方程,当k为何值时,方程有两个不相等的实数根?练习:已知关于x的方程x2–2(k+1)x+k2+2k–1=0①求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;三、自我检测1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()。A.B.C.D.2.一元二次方程x2=2x的根是()。A.x=2B.x=0

6、C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=-23.一元二次方程x(x2)=2x的根是()。A.-1B.2C.1和2D.-1和24.用配方法解方程时,原方程应变形为()。A.B.C.D.5.一元二次方程的两根分别为()。A.3,-5B.-3,-5C.-3,5D.3,56.已知关于的方程的一个根为,则实数的值为()。A.1B.-1C.2D.-27.已知2是关于的方程的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()A.10B.14C.10或14D.8或108.若x

7、=2是关于x的方程的一个根,则a的值为。9.方程的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为()。A.12B.12或15C.15D.不能确定10.已知关于x的方程x2+bx+a=0有一根是-a(a≠0),则a-b的值为()。A.-1B.0C.1D.2ABCDE图511.如图5,在□ABCD中,AE⊥BC于E,且a是一元二次方程的根,则□ABCD的周长为()。A.B.C.D.或12.已知代数式x2+y2+1与x2+y2-1互为倒数,求x2+y2的值。13.若(x2+y2-1)2=9,求x2+y2

8、的值。14.求证:不论m为何值,解关于x的一元二次方程总有两个不等实数根.四、课外作业1.解下列方程:(1)(2)(3)(8-2x)(6-2x)=24.2.方程的解是()。A.,  B.,C.,D.,3.方程的解是()。A.B.C.或D.或4.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程的根,则该三角形的周长为()。A.14B.12C.12或14D.以上都不对5.一元二次方程的一个根为,则另一个根为。6.已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2-8x+15=0的根,

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