《应力与应变关系》PPT课件.ppt

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1、地球物理场论I海洋地球科学学院地球探测信息与技术系宋鹏第四章应力与应变关系4.1广义虎克定律4.2工程弹性常数及相互间关系式4.3简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度4.4能量密度与能通量密度在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)与位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位移分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要6个方程才能求解弹性动力学问题。应力与应变关系应力与应变关系平衡运动微分方程几何方程要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的关系，这种关系通常被称为

2、物理方程或本构方程。即还需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的关系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量的一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克定律。应力与应变关系广义虎克定律--应力应变曲线在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲线不同。图4‑1给出低碳钢应力应变曲线。从图中可看出，该曲线大致可分为四个阶段：图4‑1某材料应力与应变关系曲线广义虎克定律--应力应变曲线(一)弹性阶段——OB段在此段内，撤去外力时，将沿OB线恢复回原点O，即变形完全消失。通常为称为弹性极限。而OA

3、段为直线，说明当时，成线性关系即(4-1)广义虎克定律--应力应变曲线其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性模量，E的量纲与相同，一般用GN/m2。则称为比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。A点与B点非常接近，工程上弹性极限和比例极限并不严格区分。这种情况下，横向应变与轴向应变绝对值之比一般是常数，即称为横向变形系数或泊松比。（4-2）广义虎克定律--应力应变曲线(二)屈服阶段——BC段当后，出现应变增加很快，而应力在很小范围内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增加的现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力称屈服极限。(三)强化阶段

4、——CD段过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化，强化阶段中的最高点D所对应的称为强度极限。广义虎克定律--应力应变曲线(四)局部变形阶段——DG段过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，继续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。在纯剪应力作用时，与也成正比，，比例系数G称剪切弹性模量广义虎克定律在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分量，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。它们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量形式表示为：（4-3a）广义虎克定律在小

5、变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如对，可得：广义虎克定律展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分量等于零时的值，而实际上代表初应力，由于无初应力假设等于零。其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系式简化为：（4-3b）广义虎克定律上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上式一致。上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广，因此称为广义虎克定律。式中系数是物质弹性性质的表征，

6、由均匀性假设可知这些弹性性质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成矩阵形式广义虎克定律(4-4)可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只有21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性常数独立。各向同性体的广义虎克定律如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常数。（一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。图4‑2应变主轴各向同性体的广义虎克定律如图4‑2所示，设1，2，3轴为物体内某点的应变主轴，对应的剪应变。现取轴分别为1，2，3轴，则

7、由广义虎克定律第4式得：（a）式中,和为该点主应变(对应1，2，3轴)。将此坐标系绕2轴转180°，得新的坐标轴1′，2′，3′，以,和分别表示1′，2′，3′轴对原坐标系O123各轴的方向余弦，知:各向同性体的广义虎克定律因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应该不随方向面改变，故取分别为1′，2′和3′轴，同样由式（4-3）第4式得：式中，和为该点主应变(对应1′，2′，3′轴)，而由转轴应力分量变换公式得：（b）各向同性体的广义虎克定律又由转轴应变分量变换公式(3-12)得(d

8、)(c)，(d)代入(b)则有(e)（a）与(e)比较，可知各向同性体的广义虎克定律欲使上式成立，只有。同理可证。这说明，若1，2，3是应变主轴，也是应力主轴。从而