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1、第五章非平稳序列的随机分析本章结构单位根过程差分运算单位根检验ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型单位根过程(unitRootProcess)平稳随机过程的特点1.不同时刻均值相同,围绕常数均值波动,称为均值回复(meanreversion).2.方差有界并且不随时间变化,是常数.称为方差齐性平稳ARMA模型,可表示为此类模型的特点3.长期预测趋于无条件均值4.预测误差的方差有界序列分解预测误差预测值5.t时刻的扰动带来的影响随着时间的增加趋于0.假设t
2、时刻改变一个单位,那么未来时刻t+s时,改变多少?非平稳过程多数经济变量的时间序列都有随着时间增加而增长的趋势,不具有均值回复的特点.两种刻画:带趋势的平稳随机过程(前面已讲)单位根过程随机趋势过程有一类随机过程,如果再t时刻扰动项发生变化,那么它的影响会一直存在下去,不会随着时间t增大会立刻衰减到0.这样过程成为随机趋势过程。随机游动(走)带常数项的随机游动单位根过程随机游走带常数项的随机游走单位根过程满足下面表达式的过程成为单位根过程其中单位根过程对时间序列的增量进行刻画，增量平稳，但水平变量不平稳
3、。单整序列差分一次变为平稳过程，记为I(1)平稳过程记为I(0)如果差分n-1次不平稳，差分n次平稳，称为n阶单整的，记为I(n)趋势平稳过程和单位根过程比较预测比较零假设成立时,对立假设成立时,预测均方误差的影响带趋势的平稳过程单位根过程动态乘子的比较趋势平稳过程动态乘子:趋势平稳过程满足,所以平稳化比较对趋势平稳过程进行差分,得到不可逆的MA模型,无法平稳化单位根去掉趋势项仍然不平稳,随机趋势仍然存在两种随机过程比较带趋势的平稳过程只有确定趋势;单位根过程具有随机趋势,有时也有确定趋势趋势平稳过程去
4、掉趋势项平稳;单位根过程差分后平稳趋势平稳过程方差是常数,均值为时间函数;单位根过程方差是时间函数趋势平稳过程对冲击的反应是暂时的;而单位根过程对冲击的反应是长久的5.2差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就
5、可以提取出曲线趋势的影响对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息差分的方式小结对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息，命令为D(X)；对曲线趋势的序列，低阶差分即可提取序列的确定性信息，命令为D(X,a)；对具有周期性特点的序列，k步差分即可提取序列的周期性信息，命令为D(X,0,k)。对既有长期趋势又有周期性波动的序列，可以采用低阶——k步差分的操作提取确定性信息，操作方法为D(X,a，k)。非平稳序列如果经过差分变成平稳序列，则我们称这类序列为差分平稳序
6、列，差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合。单位根检验对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大，其均值概念变得毫无意义；对于趋势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。对退势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。5.3单位根检验定义通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平稳性方法DF检验ADF检验PP检验DF检验模型中不包含常数和趋势项模型中包括常数项模型中包含常
7、数和趋势项DF检验(Dickey-Fullertest)假设条件原假设：序列非平稳备择假设：序列平稳检验统计量时时DF统计量时时，为区分传统的t分布，记DF检验的等价表达等价假设检验统计量的临界值零假设下,不服从t分布,需要使用蒙特卡罗法估计临界值.例如随机产生100个随机数,在零假设下可以计算估计模型,得到一个估计值.重复很多次,例如5000次,得到5000个的值.如果这5000个值,有95%的值大于-1.95,则临界值为-1.95.小于此值,拒绝三种情况的的临界值是不一样的进行单位根检验必须选择合适
8、的回归模型.一个简单的原则,如果数据没有明显的趋势,则在回归模型中包括常数项;如果有明显的趋势,则在回归模型中既要包含常数项和时间趋势项四个问题数据生成过程未知,有可能包括滑动平均部分可能包括不止一个滞后项,如果实际数据生成过程是AR(p)模型,估计量和标准差是错误的DF检验只考虑了一个单位根,可以考虑多与一个单位根的情况很难判断合适包括常数项,何时包括时间趋势用（1）式检验单位根等价于先验认定被检验过程xt是一个零均值、无趋势项的AR(1
