高等数学-极限.ppt

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1、若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,1.3函数的极限1.3.1数列的极限邻域OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！例如,趋势不定收敛发散数列极限的演示数列极限的演示●●数列极限的演示数列极限的演示●●●●●●●●●●●●●●●●目标不惟一！！！！！！！！！！！！一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:二、自变

2、量趋于无穷大时函数的极限本节内容:1.3.2函数的极限●●●●●这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于，还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！x趋于无穷大的演示●●●x●●●因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：x趋于无穷大的演示2.自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.测量正方形面积.面积为A)边长为

3、(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求确定直接观测值精度:定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明:函数极限的演示dd目的：对任意的e>0,要找d>0，使得00,要找d>0，使得0

4、A-e

5、之和不一定是无穷小!例如，有限个无穷小之差仍为无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.例.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.第一章都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷

6、小,～且例1.证明:当时,～证:～内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小1.4极限运算法则1.4.1函数的极限运算法则则有定理1.（1）若（2）若则有说明:可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)（3）若且B≠0,则有1.4.1函数的极限运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理1.（1）若

7、说明:可推广到有限个函数相加、减的情形.（2）若则有说明:可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)为无穷小(详见P44)（3）若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,例1这是因为分子、分母都包含着在x=2时为零的因子x－2。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。解原式=例2求注此题中若将x=2代入分子、分母，则得到无意义的式子，例3解当时，，的分母都趋于零，原式出现“”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分

8、，变换一下形式。原式=（消去零因子）解原式=解当时，分母极限为0，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化例4求例5.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因例6.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式一般有如下结果：为非负常数)例7.求解原式=定理.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得例7.求解:令已知∴原式=思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限