微分方程一ppt课件.ppt

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1、高等数学高等数学第六章微分方程第一节基本概念一、实例例6-1、6-2例1:一曲线通过点(1,2),曲线上任意点的切线斜率为2x,求曲线方程。解:设所求曲线为y=f(x),则第一节基本概念例2:在理想环境中,某细菌的增殖速率与它的即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在量满足的微分方程。第一节基本概念例3:自由落体问题第一节基本概念二、常微分方程定义1:含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。(Ordinarydifferentialequation)第一节基本概念常微分方程:未知函数为一元函数的微分方程。(只有全导数,没有偏导数)偏微分方程:未知函数为多元函数,出现偏

2、导数的方程。本章只讨论常微分方程一般形式:第一节基本概念微分方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数,叫微分方程的阶。(order)三、常微分方程的解定义2:满足微分方程的函数,叫作微分方程的解。(solution)第一节基本概念(1)通解:含有独立的任意常数、且个数与微分方程的阶数相同的解。(generalsolution)(2)特解:在通解中,利用已知条件(或初始条件initialcondition)确定任意常数后,所得的解。(particularsolution)第一节基本概念一般一阶微分方程初始条件:二阶初始条件:第二节一阶微分方程一般形式第二节一阶微分方程如果方程形式为:两边积分:一

3、、可分离变量的微分方程第二节一阶微分方程例:p118例6-4—例6-6例1:求微分方程的通解两边积分:通解为:第二节一阶微分方程例2:求微分方程满足初始x=2,y=4条件的特解分离变量:ydy=-xdx两边积分得:当X=2时,y=4,得C=10特解:第二节一阶微分方程例3:由物理学知道,放射性元素铀在某时刻的衰变速度与该时刻铀的质量M成正比。已知t=0时,铀的质量为M,求在衰变过程中铀的质量随时间变化的规律。解:设在时刻t的质量是M=M(t),衰变速度是dM/dt则第二节一阶微分方程例4:一容器内有100升葡萄糖水,其中含葡萄糖10千克,今以2升/分的速度将净水注入,并以同样速度使葡萄糖水流出

4、。有一搅拌器不停的工作,可以认为溶液的浓度是均匀的。求(1)t时刻的葡萄糖含量(2)50分钟后的葡萄糖的含量。第二节一阶微分方程解:设t时刻溶液中的葡萄糖含量为x,则在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量-流出的葡萄糖量葡萄糖的增量为dx,流进的葡萄糖量为零。t时刻的浓度x/100为dt内的浓度,则流出的葡萄糖量为x/100·2dt,微分方程为第二节一阶微分方程初始条件:t=0,x=10得C=0则:当t=50时,得第二节一阶微分方程二、一阶齐次方程定义如果一阶微分方程,可化为称这微分方程为齐次微分方程。例:考察方程p119两边积分,用u=y/x代入。例:例6-

5、7、6-8、6-9三、一阶线性微分方程定义:一阶微分方程中的未知函数y以及它的导数y都是一次幂,称为一阶线性微分方程。(linearfirst-orderdifferentialequation)一般形式:三、一阶线性微分方程线性齐次(homogeneous)方程:Q(x)=0线性非齐次(inhomogeneous)方程:齐次方程的解:分离变量得三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程非齐次方程的解:常数变易法(methodofvariationofconstants),将齐次通解中的C=C(x).方程变为三、一阶线性微分方程设想方程的解有形式:三、一阶线性微分方程非齐次方程的通解由两部分组成

6、:第一部分是对应齐次方程的通解;第二部分是原来非齐次方程的一个特解。例:p122例6-10、6-11三、一阶线性微分方程例1:求方程的通解先求齐次方程的通解分离变量,得积分得三、一阶线性微分方程再用常数变易法解。设方程通解:用公式解:结果相同三、一阶线性微分方程例2:求方程通解解:齐次齐次通解:非齐次设三、一阶线性微分方程方程通解:例3:求方程通解解:齐次非齐次三、一阶线性微分方程例4:通解:求方程满足初始条件的特解三、一阶线性微分方程标准形式:齐次方程:通解:常数变易,设原方程的解为:代入原方程,有三、一阶线性微分方程则通解为:由特解:三、一阶线性微分方程四、伯努利方程定义称伯努利(Bern

7、oulli)方程。线性微分方程;非线性微分方程三、一阶线性微分方程例:p123例6-12三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例:求微分方程的通解例:通解为的微分方程为:三、一阶线性微分方程例:曲线y=f(x)过点(0,-1/2),其上任一点(x,y)的切线斜率为xln(1+x2),求f(x).三、一阶线性微分方程例:求微分方程的通解例:三、一阶线性微分方程第三节二阶微分方程

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