2019高考数学复习：正弦定理和余弦定理.doc

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1、第6节　正弦定理和余弦定理最新考纲　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC

2、＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解[常用结论与微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；

3、c＝bcosA＋acosB.3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当

4、b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A.B.C.2D.3解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.答案　D3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为(　　)A.＋1B.－1C.4D.2解析　法一　由余弦定理可得(2)2＝22＋a2－2×2×acos，即a2－2a－4＝0，解得a＝＋或a＝－(

5、舍去)，△ABC的面积S＝absinC＝×2×(＋)sin＝×2××(＋)＝＋1，选A.法二　由正弦定理＝，得sinB＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.答案　A4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.解析　由正弦定理，得sinB＝＝＝，结合b

6、解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案　等腰三角形或直角三角形考点一　利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A.B.C.D.(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)A.1个B.2个C.0个D.无法确定(3)(2018·梅州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的

7、边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，且sinC＝2sinB，则角A的大小为________.解析　(1)由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝sinCsin＝0，因为sinC≠0，所以sin＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝.由正弦定理＝，得＝，则sinC＝，得C＝.(2)∵bsinA＝×＝，∴bsinA