第五章 第一节 Jacobi迭代法教学内容.ppt

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1、第五章第一节Jacobi迭代法任取代入(1.1)的右端,算得的结果记为,再以代入(1.1)的右端,算得的结果记为,如此进行下去,便得到迭代格式其中,是阶方阵,是已知身量,是未知向量。二、迭代格式的构造设所给方程组为(1.1)(1.2)显然,若存在,则有(1.3)此格式称为迭代格式,称为迭代矩阵。由此迭代格式可构造出一个向量序列:即为(1.1)的解。令,即得(1.1).注:若方程组由下面形式给出则需要把它改写成便于迭代的形式(1.1),其方法是多种多样的,最一般的方法是将分解为两个矩阵之差其中矩阵M可逆,于是(1.4)成为(1.6)必须指出,(1.5)中的应是便于求逆的,的最简单选择是把它选为

2、对角阵,通常,当的对角线元素全不为零时,就把选为的对角线,于是其中是具有的对角线元素的对角阵,而在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为式中,是简单的对角阵,它的对角线元素是的元素的倒数。例1、将方程组:化成便于迭代的形式最直观的方法是,将方程组改写为:三、迭代法的收敛性若由迭代格式所构成的向量序列收敛,则称迭代格式(1.2)收敛,或称迭代法收敛。(1.2)由关系式:可得定理对任意右端向量F和初始向量,迭代格式(1.2)收敛于(1.1)的解的充要条件是所以,为使Jacobi迭代法收敛,即要使必要且只要。而的充要条件是矩阵B的谱半径,故有.由定理1可以看出,迭代是否收敛只与迭代矩阵的谱半

3、径有关,而迭代矩阵是由系数矩阵演变过来的,所以迭代是否收敛是与系数矩阵以及演变的方式有关,与右端向量和初始迭代向量的选择无关。在具体问题中,谱半径是很难计算的,但由于有,所以可以用来作为的一种估计。当时迭代格式一定收敛,不过这只是收敛的充分条件。定理2若则迭代格式(1.2)收敛于(1.1)的解,且有误差估计(1.7)或(1.8)证明因为,所以迭代格式(1.2)收敛。其次,由关系式从而有有因此有(1.7)所以又从迭代格式有将此式代入(1.7)式,便有这就证明了定理2。或时,迭代法收敛。依定理2可知,当例2、用迭代法解方程组取,问Jacobi迭代法是否收敛?若收敛,需要迭代多少次,才能保证各分量

4、的误差绝对值小于?解:由例1知,此方程组可改写为其迭代格式为由于迭代矩阵:的范数,所以用Jacobi迭代法解此方程组一定收敛。经一次迭代得:于是有,由误差估计式可知,若使只须亦只须由于故所以,要保证各分量误差绝对值小于,需要迭代14次。除了用定理1、定理2来判别迭代法的收敛性外,还可根据方程组的系数矩阵的特点给出一些收敛性的判别条件。1)若是严格对角占优阵(各行非对角元绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵),则迭代法收敛。设线性代数方程组的形式为,则2)若A为对称正定矩阵,也为对称正定矩阵,则迭代法收敛;例3用Jacobi迭代法解下列方程组(精确到)(其中为A的对角元组成的对角阵,所以与只是非对

5、角元的符号不同)。若为对称正定阵而为非正定阵,则迭代法不收敛。解、显然,系数矩阵A是一个严格对角占优矩阵,所以Jacobi迭代法收敛。先将方程组化成(1.1)的形式。以4,3,4分别除三个方程两边得其迭代矩阵为从而有Jacobi迭代格式:(1.9)因为在所要求的精度内,故停止计算,即为所求近似解。从条件中,也可以看出,对任意初始向量,迭代法收敛。取则利用Jacobi迭代格式(1.9),可得四、小结(1.2)2、迭代法的收敛性1、迭代格式的构造此课件下载可自行编辑修改,仅供参考! 感谢您的支持,我们努力做得更好!谢谢

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