(完整版)因式分解知识点总结及巩固练习 .doc

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1、一、知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：1ax1bx1x(ab)333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c

2、8a3b2c36a4b2c2的公因式是．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是2a3b2c.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。33注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例1：把12a2b18ab224ab分解因式.解析：本题的各项系

3、数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。解：12a2b18ab224a3b36ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x再将多项式写成积的形式.4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)x(x2)（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就

4、可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)a.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2b.逆用立方和公式：a3b3c.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2(ab)(a2abb2（)abb2（)拓展）拓展）注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解a214a49解：a214a49=(a7)2例2：因式分解a22a(bc)(bc)2

5、解：a22a(bc)(bc)2=(abc)2（3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式a22ab1b2因式分解解：a22ab1b2=(a22abb2)1(ab)21(ab1)(ab1)（4）十字相乘法（形如x2(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数2x(pq)xpqxp

6、xq(pq)xpq(xp)(xq)p)(xq)解为(xp)(xq)x5x2x例：分解因式x2x30分解因式x252x100补充点详解补充点详解我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(x2x-6x50x2x30(x6)(x5)x252x100(x50)(x2)1.因式分解的一般步骤：如果多项

7、式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。二、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)

8、——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式：⑴15aab