(完整版)指数函数知识点总结 .doc

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1、指数函数(一)指数与指数幂的运算*(1)根式的概念:一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n00。a(a0)nnnn当n是奇数时,aa,当n是偶数时,a

2、a

3、a(a0)(2)分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:mnm*ana(a0,m,nN,n1)mn11a(a0,m,nN*,n1)mnmnaa0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)实数指数幂的运算性质•rrrsa·aa(a0,r,sR);rsrs(a)a(2)(a0,r,sR);rrs(3)(ab)aa(a0,r,sR).(二)指数函数及其性

4、质1、指数函数的概念:一般地,函数yax(a0,且aA.叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>10

5、有正数当且仅当xR;x(a0且a1),总有f(1)a;•对于指数函数f(x)a指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域:1x2x1(1)y=32x(2)y=21(3)y=33解(1)定义域为x∈R且x≠2.值域y>0且y≠1.x+2(2)由2-1≥0,得定义域{x

6、x≥-2},值域为y≥0.x-1(3)由3-3≥0,得定义域是{x

7、x≤2},∵0≤3-3x-1<3,∴值域是0≤y<3.12

8、x

9、xx1(1)y2x4;(2)y();(3)y421;练习:3xxxx【例2】指数函数y=a,y=b,y=c,y=d的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]1

10、)a<b<1<c<d2)a<b<1<d<c3)b<a<1<d<c4)c<d<1<a<b解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.练习:指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().【例3】比较大小:32、54、88、916的大小关系是:.(1)2、4315()2(2)0.624.13.6(3)4.53.711234解(1)∵222,3223,5425,8828,91629,函数y=2x,2>1,该函数在(-∞,+∞)上是增函数,132413859又<<<<,∴2<8<4<16<2.385921435>1,1>()2,解(2)∵0.624135>()2.∴0.623

11、.64.13.6解(3)借助数4.5打桥,利用指数函数的单调性,4.5>4.5,作函数y=1xx3.63.64.5,y2=3.7的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.5>3.74.13.6∴4.5>3.7.说明如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥4.13.63.6梁,这个新的幂具有与4.5同底与3.7同指数的特点,即为4.5(或4.13.7),如例2中的(3).2.530.10.2练习:(1)1.7与1.7(2

12、)0.8与0.82.12.00.33.1(3)1.7与0.9(4)3.5和2.7【例4】比较大小n1an与nan1(a>0且a≠1,n>1).n1n1an(n1)解ann1a1当0<a<1,∵n>1,>0,n(n1)1n(n1)n1nnn1∴a<1,∴a<a1当a>1时,∵n>1,>0,n(n1)1n(n1)n1nnn1∴a>1,a>a【例5】作出下列函数的图像:1x1(1)y=()x(2)y=2-2,2

13、x-1

14、x(3)y=2(4)y=

15、1-3

16、11x解(1)y=()1的图像(如图2.6-4),过点(0,)及(-1,1).221是把函数x的图像向左平移1个单位得到的.y=()2xx

17、解(2)y=2-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2的图像向下平移2个单位得到的.解(3)利用翻折变换,先作y=2

18、x

19、的图像,再把y=2

20、x

21、的图像向右平移1

22、x-1

23、个单位,就得y=2的图像(如图2.6-6).xx解(4)作函数y=3的图像关于x轴的对称图像得y=-3的图像,再把yx=-3的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)ax1【例8】已知f(x)=(a>1

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