(完整版)正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)附答案 .doc

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1、高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．1个B．2个C．0个D．无法确定(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是．12(3)(2015广·东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝，C＝π6，则b＝.答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)12解析(1)∵bsinA＝6×2＝3，∴bsinA

2、osA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋2bc，∴cosA＝2A＝45°，sinB1B＝30°，∴C＝105°.2，＝2，【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则

3、x的取值范围是()A．x＞2B．x＜2C．2＜x＜22D．2＜x＜23(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝.答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，又由sinA＝asinBx21，b＝2×2＜可得x＜22，∴x的取值范围是2＜x＜22.(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.高频考点二和三角形面积有关的问题，例2、(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知

4、A＝πb24c－a2＝12.2(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解(1)由b2－a2＝12及正弦定理得2csin2B－1＝1222sinC.所以－cos2B＝sin2C.①又由AπB＋C＝3＝4，即34π，得－cos2B＝－cos24π－C＝－cos32π－2C＝sin2C＝2sinCcosC，②由①②解得tanC＝2.【感悟提升】1(1)对于面积公式S＝2absinC＝式．1＝acsinB212bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公(1)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【变式探究】四

5、边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．解(1)由题设A与C互补及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②1由①②得cosC＝2，BD＝7，因为C为三角形内角，故C＝60°.(2)四边形ABCD的面积11S＝2AB·DAsinA＋2BC·CDsinC11＝2×1×＋22×3×s2in60°＝23.高频考点三正弦、余弦定理的简单应用c例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，

6、b，c，若b

7、C·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得sinB＝sinCAC12.＝AB(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形

8、，得出内角的关系，从而判断三角形的形状