(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案) .doc

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1、直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题31、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．3解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．F1作倾斜解为32AB1kx1x231(1k2)[(xx)24x1x2]．332因为a6，b3，所以c33．33又因为焦点在x轴上，x2y2所以椭圆方程为1，左焦点F(33,0)，从而直线方程为3369y3x9．由直线方程与椭圆方程联立得313x2723x3680．3设x1，x2为方程两根，3所以x1x27231213，x1x2368，k3，121333从而AB1k2xx

2、(1k2)[(xx)2484x1x2]21333x22、已知椭圆C：2ay1（a＞b＞0）的离心率为6,b23短轴一个端点到右焦点的距3离为3。（Ⅰ）求椭圆C的方程；3（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值。3，求△AOB23解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意caa6，33，b1，所求椭圆方程为x23y21。（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)。（1）当AB⊥x轴时，AB3。（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。由已知m1k232，得m234(k1)。2把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m2

3、30，x1x23k16km，xx23(m2123k21)。12AB(1k)(x22x1)2(1k)236km2212(m2(3k21)23k21)112(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k21)2(3k21)23212k9k46k21312(k0)≤39k21122364。k26当且仅当9k2k21，即k3时等号成立。当3k0时，AB3，综上所述ABmax2。3当AB最大时，△AOB面积取最大值133S2ABmax22。3323、如图，直线ykxb与椭圆x4y21交于A、B两点，记ABC的面积为S。33（Ⅰ）求在k0，0b1的条件下，S的最大值；33（Ⅱ）

4、当AB2，S1时，求直线AB的方程。33解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为x1,b，点B的坐标为x2,b，332由xb21，解得x，21b2，34所以S121bx1x2232b1b2b21b1，3当且仅当b2时，S取到最在值1，233（Ⅱ）解：由ykxb,2xy21,433得k21x242kbxb210，34k2b21，12AB1k2xx1k24k2b2121k24设O到AB的距离为d，则d2s1，AB又因为db，1k2所以b2k4k2k21，代入②式并整理，得10，4解得，k21,b223，代入①式检验，0。2故直线AB的方程是y2x26，或y226

5、x，或y222x6,或y222x6。224、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，22a4。c(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。2解：设椭圆方程为xa2y1(a2b2b0).4（I）由已知得所求椭圆方程为x2bc2a24ca2b2c2a22b21c218y21.2（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，8设直线l的方程为ykx2，A(x1,y1),B(x2,y2)8ykx2由x2消去y得关于x的方程：y2128(12k2)x28kx

6、608由直线l与椭圆相交A、B两点，△064k224(12k2)0，8解得k23，28kx1x228又由韦达定理得xx12k681212k28AB12kx1x21k2(x12x)24x1x2881k212k216k224.8原点O到直线l的距离d221k116k224222k238SADBABd212k212k28解法1：对S216k24两边平方整理得：812k284S2k44(S24)k2S2240（*）8S0，816(S24-S224)2044S2(S224)08SS2244S20整理得：S21.2又S0，0S2.22从而SAOB的最

7、大值为S，2此时代入方程（*）得84k4k28k249014288所以，所求直线方程为：14x2y40.88解法2：令m2k23(m0)，8则2k2m23，S22m2222.m2442mm8当且仅当m2Smax24即mm2时，814此时k.28所以，所求直线方程为14x2y40.8解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.8设直线l的方程为ykx2，A(x1,y1)，B(x2,y2)88则直线l与x轴的交点D(2,0)