实变函数试题库及参考答案 .docx

实变函数试题库及参考答案 .docx

ID:60941561

大小:26.95 KB

页数:7页

时间:2021-01-05

实变函数试题库及参考答案    .docx_第1页
实变函数试题库及参考答案    .docx_第2页
实变函数试题库及参考答案    .docx_第3页
实变函数试题库及参考答案    .docx_第4页
实变函数试题库及参考答案    .docx_第5页
资源描述:

《实变函数试题库及参考答案 .docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、实变函数试题库及参考答案(3)本科一、填空题1.设A,B为集合,则BAIBUAAUB2.设A为无理数集,则Ac(其中c表示自然数集0,1的基数)3.设E?n,如果E中没有不是内点的点,则称E是4.任意个闭集的交是5.设fx是定义在可测集E上的实函数,如果a?1,Exafxb是可测,(ab)则称fx在E上6.可测函数列的上确界也是k7.设fnxfx,gnxgxa.e.,则fnxgnx8.设fnxfx,那么由黎斯定理,fnx有子列fnx,使a.e.于E二、选择题1.下列集合关系成立的是()2.设ERn,则()3.设P为康托集,则()AP是可数集BmP0CP是不可数集D

2、P是开集4.下列集合关系成立的是()A若AB则BcAcB若AB则AcBcC若AB则AIBBD若AB则AUBB三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1.设Dx是狄利克莱函数,即Dx1x为0x为0,10,1中有理数中无理数,则()ADx几乎处处等于1BDx几乎处处等于0CDx是非负可测函数DDx是L可积函数2.设E?n,m*E0,则()EAE是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集3.设E?n,x1xE0xEc,则()A当E是可测集时,Ex是可测函数B当Ex是可测函数时,E是可测集C当E是不可测集时,Ex可以是可测函数D当Ex是不是可测函数时,E

3、不一定是可测集1.设fx是a,b上的连续函数,则()Afx在a,b上有界Bfx在a,b上可测Cfx在a,b上L可积Dfx在a,b上不一定L可积四、判断题1.对等的集合不一定相等.()2.称fx,gx在E上几乎处处相等是指使fxgx的x全体是零测集.()3.可数个开集的交是开集()4.可测函数不一定是连续函数.()5.对等的集合有相同的基数.()五、定义题1.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.2.简述R1中开集的结构.3.可测集与闭集、F集有什么关系?1.为什么说绝对连续函数几乎处处可微?六、计算题1.设fxx3cosxxxE0,E2,E为0,2中有理数集,求fxdx.0,2

4、2.设fxnxcosnx,x0,1,求limfxdx.n1n2x2nn0,1七、证明题1.设f(x)是E上的可测函数,则对任何常数a0,有mE[x

5、f(x)a]eaef(x)dxE2.设f(x)是E上的可积函数,{En}为E的一列可测子集,mE,如果limnmEnmE则limnf(x)dxfEnE(x)dx3.证明集合等式:(AUB)C(AC)U(BC)4.设ERn是零测集,则E的任何子集F是可测集,且mF05.证明:R1上的实值连续函数fx必为R1上的可测函数本科实变函数试题库及参考答案(3)一、填空题k1.=2.=3.开集4.闭集5.可测6.可测函数

6、7.fxgx8.fnxfx二、单选题1.B2.A3.B4.A三、多选题1.BCD2.ABD3.AB4.BD四、判断题√√×√√五、定义题1.答:若A:BB,又B:AA,则A:B2.答:设G为R1中开集,则G可表示成R1中至多可数个互不相交的开区间的并.3.答:设E是可测集,则0,闭集FE,使mEF或F集FE,使mEF0.4.答:因为绝对连续函数是有界变差,由若当分解定理,它可表示成两个单调增函数的差,而单调函数几乎处处有有限的导数,所以绝对连续函数几乎处处可微.六、解答题1.解:因为mE0,所以fxcosx,a.e于0,1于是fxdx0,2cosxdx0,2而cosx在0,上连

7、续,所以黎曼可积,由牛顿莱布尼公式2因此fxdx10,21.解:因为fnx在0,1上连续,所以可测n1,2,L又fxnxcosnxnxnx1,x0,1,n1,2,Ln22221nx1nx2nx2而limn1nxn2x20,所以limnfnx0.因此由有界控制收敛定理七、证明题1.证明因为f(x)在E上可测,所以ef(x)是非负可测函数,于是由非负可测函数积分性质,E[x

8、f(x)eadxa]E[x

9、f(x)ef(x)dxa]ef(x)dxE而E[x

10、f(x)eadxeaa]mE[x

11、f(x)a],所以mE[x

12、f(x)a]eaef(x)d

13、xE2.证明因f(x)在E上L可积,由积分的绝对连续性知,对任意0,存在0,对任何AE,当mA时有

14、f(x)dx

15、A,由于limnmEnmE,故对上述的0,存在k0,当nk0时EnE,且有mEmEnm(EEn),于是

16、f(x)dxEf(x)dx

17、

18、EnEEnf(x)dx

19、,即limnf(x)dxfEnE(x)dx1.证明(AUB)C(AUB)ICc(AICc)U(BICc)(AC)U(

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。