2021届新高考数学二轮培优点10 平面向量“奔驰定理”（解析版）.docx

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1、培优点10平面向量“奔驰定理”【方法总结】→→→定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．→1→→1→→1→【典例】(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶333S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．

2、29∶6【答案】B→1→→→1→→【解析】由QR＝QB，得PR－PQ＝(PB－PQ)，33→1→2→1→2→整理得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，3339→1→→1→→由RP＝RC，得RP＝(PC－PR)，33→1→1→1→2→整理得PR＝－PC，∴－PC＝PB＋PA，2239→→→整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.→→→→→→→

3、PQ

4、(2)已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则等于()→

5、AB

6、1111A

7、.B.C.D.30313233【答案】A【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，1∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，211又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，65→

8、PQ

9、111∴＝－＝.

10、→AB

11、5630→3→→→(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC＝AC，QC＝nBC，则n的值为4________．3【答案】5→→→→→→【解析】因为O是重心，所以OA＋OB

12、＋OC＝0，即OA＝－OB－OC，→3→→→3→→→3→1→PC＝AC⇒OC－OP＝(OC－OA)⇒OP＝OA＋OC＝44443→1→－OB－OC，42→→→→→→QC＝nBC⇒OC－OQ＝n(OC－OB)→→→⇒OQ＝nOB＋(1－n)OC，→→因为P，O，Q三点共线，所以OP∥OQ，313所以－(1－n)＝－n，解得n＝.425【方法总结】“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：→→→(1)若O为△ABC的重心，则OA＋OB＋OC＝0.→→→(2)若O为△ABC的外心

13、，则sin2A·OA＋sin2B·OB＋sin2C·OC＝0.→→→(3)若O为△ABC的内心，则a·OA＋b·OB＋c·OC＝0.→→→备注：若O为△ABC的内心，则sinA·OA＋sinB·OB＋sinC·OC＝0也对．→→→(4)若O为△ABC的垂心，则tanA·OA＋tanB·OB＋tanC·OC＝0.【拓展训练】→→→1．点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S△ABC∶S△APC为()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3【答案】C【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△P

14、AC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.→→→2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别为()24421221A.，B.，C.，D.，99999999【答案】A→→→【解析】根据奔驰定理，得3OA＋2OB＋4OC＝0，→→→→→即3OA＋2(OA＋AB)＋4(OA＋AC)＝0，→2→4→整理得AO＝AB＋AC，故选A.993.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△

15、PCA，△PAB的面1积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．23【答案】31→→→【解析】根据奔驰定理得，PA＋xPB＋yPC＝0，2→→→即AP＝2xPB＋2yPC，→22→22→2→→平方得AP＝4xPB＋4yPC＋8xy

16、PB

17、·

18、PC

19、·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，→→→所以

20、PA

21、＝

22、PB

23、＝

24、PC

25、，221且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x＋y＋xy＝，4x＋y2112(x＋y)＝＋xy≤＋2，443解得0

26、以(x＋y)max＝.3