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1、第五节平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角小结思考题作业(plane)点到平面的距离第七章空间解析几何与向量代数1在空间内,确定一个平面的几何条件是多种多样的.如:点法确定、相交两直线确定等.不共线的三点确定、平面及其方程2如果一非零向量垂直于法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量.一平面,这向量就叫做该平面的法线向量(法向量).平面及其方程3平面的点法式方程平面称为方程的图形.平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上
2、方程称为平面的方程,平面及其方程4解取平面方程为化简得平面的点法式方程例平面方程.法一平面及其方程5平面方程.解所求方程的三点式为平面方程为法二平面及其方程6平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程7平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于xOy坐标面；类似地可讨论类似地可讨论轴轴xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程8设平面为将三点坐标代入得解平面及其方程例设平面与x,y,z三轴分别
3、交于求此平面方程.平面的截距式方程9今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.并作图.化为截距式方程,平面及其方程平面的截距式方程10设平面过点及x轴,求其方程.用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程:求法向量练习解法一即平面及其方程11用待定常数法.设平面过点及x轴,求其方程.即法二设平面方程是从而平面方程是即从而平面方程是得平面及其方程点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,练习12易知平面上三点O(0,0,0),P(1,0,0),设M(x,y,z)为平面上的
4、任意一点,可得其方程想一想还有别的方法吗?答:有!法三平面及其方程设平面过点及x轴,求其方程.练习根据三向量OM,共面的充要条件,有OM0,OP即13求平面方程常用两种方法:利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程14定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角平面及其方程两平面的夹角.15按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//两平面垂直、平行的充要条件平面及其方
5、程取锐角16例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角平面及其方程17两平面平行但不重合.两平面平行两平面重合解解两平面平行平面及其方程18例解所求方程的三点式为三点的平面方程为设两平面的交角为则平面及其方程19设平面为所求平面方程为解平面及其方程例1996考研数学(一),3分与平面垂直且过原点及点的平面方程为().20平面及其方程与平面垂直且过原点及点的平面方程为().解∥平面的点法式方程1996考研数学(一),3分21设所求平面为由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件)解平面及其方程例所围成的四面体体
6、积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面22代入体积式所求平面方程为平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面23取法向量化简得平面方程为解∥.平面及其方程例求过点(1,1,1)且与平面和平面都垂直的平面方程.24点到平面的垂直距离外一点,平面及其方程四、点到平面的距离并作向量即由于25平面及其方程的距离公式为26点到平面距离公式填空解平面及其方程27解例求这平面方程.设所求平面为在已知平面上任取一点或故所求平面为或平面及其方程281.两平行平面与间距离为(),其的方程分别为:
7、(A)1(B)(C)2(D)21A选择题提示∥平面及其方程292.已知平面通过点(k,k,0)与(2k,2k,0),其中k≠0,且垂直于xOy平面,则该平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系数必满足().a解答分别得平面及其方程30(熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角点到平面的距离公式平面的点法式方程(两平面垂直、平行的充要条件)四、小结平面及其方程(关键确定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究几何图形)31思考题1平面及其方程如何确定平面的法向量?解答确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在,
8、平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同的方法:(1)如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足为M1(x1,y1,z1),则(2)如果平面Π与已知平面平行,则(3)如果平面Π过三点A,B,C,则32思考题2(是非题)平面及其方程非平面在x、y、z轴的截距分别是a、b、c.因为这是一过原点的平面
