控制系统的稳定性—Lyapunov第二方法.ppt

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1、4.1关于稳定性的几个定义4.2李亚普诺夫第一方法4.3李亚普诺夫第二方法4.4非线性系统的Lyapunov稳定性分析4.5线性定常系统的Lyapunov稳定性分析4.6Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用4控制系统的稳定性—Lyapunov第二方法1现代控制理论基础引言1892年，李雅普诺夫（Lyapunov）提出了两种用于确定由常微分方程描述的系统稳定性的方法：第一方法和第二方法。第一方法又称间接法，它的基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。它包括了用微分方程显式解来进行系统分析的所有步骤。第二方法通过构造一

2、个称之为Lyapunov函数的纯量函数来判别系统的稳定性，所以这种方法也叫做Lyapunov直接方法。它是分析线性和非线性、时变和定常的动力学系统稳定性的一种普遍原理，而且还可有效地应用于系统分析和综合问题的许多方面。2现代控制理论基础4.1关于稳定性的几个定义4.1.1平衡状态定义动力学系统的平衡状态是满足的那一类状态，用表示。即对于线性定常系统如果矩阵A是非奇异的，则系统只存在唯一的一个平衡状态=0，而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态。对于非线性系统，通常有一个或几个平衡状态。3现代控制理论基础4.1.2Lyapunov意义下的稳定性系统受扰动作用后

3、将偏离其平衡状态，随后系统可能出现下列情况：（1）系统的自由响应有界；（2）系统的自由响应不但有界，而且最终回到平衡状态；（3）系统的自由响应无界。Lyapunov把上述三种情况分别定义为稳定、渐近稳定和不稳定。下面分别给出其定义。(1)Lyapunov意义下的稳定性用下式表示以平衡状态为圆心、半径为k的球域：式中，称为欧几里德范数，即4.1关于稳定性的几个定义4现代控制理论基础定义4-1对于任意给定的每个实数，都对应存在另一实数，使得一切满足不等式的任意初始状态x0出发的系统响应x，在所有时间内都满足则称系统的平衡状态在Lyapunov意义下是稳定的。若与

4、t0选取无关，则平衡状态是一致稳定的。几何含义：给定以任意正数为半径的球域，当t无限增大时，从球域内出发的轨迹总不越出球域，那么平衡状态是Lyapunov意义下稳定的。以二维空间为例，上述定义几何解释如右图所示。4.1关于稳定性的几个定义二维空间中稳定平衡状态示意图5现代控制理论基础(2)渐近稳定定义4-2若平衡状态是Lyapunov意义下稳定的，并且当t趋近于无穷大时，x(t)趋近于，即，则称平衡状态渐近稳定。以二维空间为例，上述定义几何解释右图所示。（3）大范围渐近稳定定义4-3如果平衡状态是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，那么平衡状态

5、就称为大范围渐近稳定。4.1关于稳定性的几个定义二维空间中渐近稳定平衡状态示意图6现代控制理论基础很明显，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态。对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范围渐近稳定的。如果系统不是大范围渐近稳定的，那么就要遇到一个确定渐近稳定的最大范围的问题，这通常非常困难。（4）不稳定定义4-4如果对于某一实数，不论取得多么小，在内总存在一个初始状态x0，由此出发的轨迹最终越出，即，则称平衡状态不稳定。以二维空间为例，上述定义几何解释右图所示。4.1关于稳定性的几个定义二维空间中不稳定平衡状态示意图7现

6、代控制理论基础4.2李亚普诺夫第一方法Lyapunov第一方法又叫间接法。它的基本思路是解系统方程，然后根据方程的解判别系统的稳定性。(1)对于线性定常系统只需求出特征值就可判别其稳定性。(2)对于非线性系统，则必须首先将系统的状态方程线性化，然后用线性化方程（即一次近似式）的特征值来判别系统的稳定性。（1）线性系统稳定性的判别定理4-1线性连续定常系统渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。例4-1试分析如下系统的稳定性。解矩阵A的特征方程为于是得矩阵A的特征值为。故系统不是渐近稳定的。8现代控制理论基础定义4-5若所有的有界输入引起的零状

7、态响应的输出是有界的，则称系统为有界输入有界输出稳定。有界是指如果一个函数h(t)，在时间区间内，它的幅值不会增至无穷大，即存在一个实常数K，使得对于内所有，恒有，则称h(t)有界。定理4-2线性连续定常系统的传递函数为当且仅当其极点都在S左半平面内，则系统是输入输出稳定。结论：若系统是渐近稳定的，则它也是输入输出稳定的；若系统是输入输出稳定的，且又是能控能观测的，则系统是渐近稳定的。4.2李亚普诺夫第一方法9现代控制理论基础（2）非线性系统的稳定性分析设系统在零输入下的状态方程为f(x)是与x同维数的向量函数，它对于状态向量x是连续可微的。将非线性向量函数

8、f(x)在平衡状态附近展开成泰勒级数，即4.2李亚普