数学物理方法 分离变量法.ppt

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1、第十章分离变量法第一节有界弦的自由振动第二节有限长杆上的热传导第三节特殊区域上的Laplace第四节高维定解问题的分离变量法第五节对非齐次边界条件和非齐次方程的处理第一节有界弦的自由振动物理解释：一根长为l的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动固定边界的有界弦自由振动求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：第一节有界弦的自由振动第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数第一节有界弦的自由振动第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得

2、第一节有界弦的自由振动驻波其中振幅频率初相位振动元素，本征振动驻波第一节有界弦的自由振动oln=4其它边界条件的混合问题两端自由的边界条件第一节有界弦的自由振动左端点自由、右端点固定的边界条件第一节有界弦的自由振动左端点固定、右端点自有的边界条件第一节有界弦的自由振动第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难第一节有界弦的自由振动举例-弦的敲击对不同的c，有界弦的自由振动第一节有界弦的自由振动当c=0.2l时，有界弦的自由振动第一节有界弦的自由振动当c=0.5l时，有界弦的自由振动第一节有界弦的自由振动再例-弦的拨动对不同的d，有界弦的自由振动第一节有界弦的自由振动当

3、d=0.5l时，有界弦的自由振动第一节有界弦的自由振动当d=0.3l时，有界弦的自由振动第一节有界弦的自由振动第二节有限长杆上的热传导物理解释：一根长为l的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：第二节有限长杆上的热传导第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数第二节有限长杆上的热传导第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得第二节有限长杆上的热传导举

4、例第二节有限长杆上的热传导当u0=1时，杆内温度随时间的变化第二节有限长杆上的热传导矩形域上的边值问题散热片的横截面为一矩形[0,a][0,b]，它的一边y=b处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布oab第三节特殊区域上的Laplace方程参数选取第三节特殊区域上的Laplace方程圆域内的边值问题一个半径为a的薄圆盘，前后两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数f(x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布a第三节特殊区域上的Laplace方程ora+2隐含着的周期边值条件和原点约束条件第三节特殊区域上的Laplace方程第一步：求满足齐次方

5、程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解()：R(r)：周期本征值问题欧拉方程第三节特殊区域上的Laplace方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第三节特殊区域上的Laplace方程第三步：利用边界条件利用边界条件第三节特殊区域上的Laplace方程解的约化-Poisson积分公式第三节特殊区域上的Laplace方程举例-观察法第三节特殊区域上的Laplace方程球域内Laplace方程的边值问题球域内波动方程的初边混合问题球域内热传导方程的初边混合问题第四节高维定解问题的分离变量法球域内Laplace方程的边值问题球坐标变换第四节高维定解问题的分离变

6、量法隐含着的周期边值条件和球内约束条件第四节高维定解问题的分离变量法第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解R(r)：()：()：第四节高维定解问题的分离变量法R(r)：()：欧拉方程第二步：求R(r)，()和()的具体表达式第四节高维定解问题的分离变量法()：()=(cos-1x)=y(x)：缔合勒让德方程第四节高维定解问题的分离变量法第三步：利用边界条件求解第四节高维定解问题的分离变量法举例半径为a的球形内部没有电荷，球面上的电势为sin2cossin，求球形区域内部的电势分布第四节高维定解问题的分离变量法附

7、记：球函数R(r)：Y(,)：球函数球方程第四节高维定解问题的分离变量法球域内波动方程的初边混合问题第四节高维定解问题的分离变量法第一步：首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如T(t)：v(x,y,z)：其中k是待定常数第四节高维定解问题的分离变量法第二步：求解T(t)第三步：求解v(x,y,z)第四节高维定解问题的分离变量法求如下形式的解R(r)：Y(,)：球函数球Bessel方程球Bessel函数第四节高维定解问题的分离变量法第四步：利用初始条件求解第四节高维定解问题的分离变量法球域内热传导方程的初边混合问题第四节高维定解问题的分离变