2010年江苏省启东中学5月适应性考试(理科数学).doc

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1、启东中学2009/2010学年度高三年级适应性考试数学试题(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知复数,则的虚部为▲.2.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为的、、三所高校中,用分层抽样方法抽取名志愿者,若在高校恰好抽出了6名志愿者,那么▲.3.若命题“”是假命题,则实数的取值范围是▲.4.已知向量,若,则=▲.第8题5.已知集合,若从中任取一个元素作为直线的倾斜角,则直线的斜率小于零的概率是▲.6.在等比数列中,若,,

2、则▲.7.已知函数,则的值为▲.8.按如图所示的流程图运算,则输出的▲.9.由“若直角三角形两直角边的长分别为,将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为”,类比上述处理方法,可得该三棱锥的外接球半径为=▲.10.已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点,直线与椭圆的右准线交于点,若直线∥轴,则该椭圆的离心率=▲.11.已知数列满足,则该数列的前20项的和为▲.12.已知直线与圆:相交于两点,若点M在圆上,且有(为坐标原点),则实数=▲.13.若,且,则

3、的最小值为▲.14.设,函数,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为▲.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.A1B1C1ABCD1DEF第15题15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱中,,分别是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面平面.16.(本小题满分14分)设的三个内角所对的边分别为,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,试求的最小值.17.(本小题满分14分)设数列的前项和,数列满足.(Ⅰ)若成等比数列,试求的值;(Ⅱ)是否存在

4、,使得数列中存在某项满足成等差数列?若存在,请指出符合题意的的个数;若不存在,请说明理由.18.(本小题满分16分)某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以为直径的半圆,点为圆心,下部分是以为斜边的等腰直角三角形,是两根支杆,其中米,.现在弧、线段与线段上装彩灯,在弧、弧、线段与线段上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为,节能灯的比例系数为,假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.(Ⅰ)试将表示为的函数;(Ⅱ)试确定

5、当取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?DOABEF第18题2x19.(本小题满分16分)P第19题xyAF1F2·MO已知椭圆:的左、右焦点分别为,下顶点为,点是椭圆上任一点,⊙是以为直径的圆.(Ⅰ)当⊙的面积为时,求所在直线的方程;(Ⅱ)当⊙与直线相切时,求⊙的方程;(Ⅲ)求证:⊙总与某个定圆相切.·20.(本小题满分16分)已知函数.(Ⅰ)若有两个不同的解,求的值;(Ⅱ)若当时,不等式恒成立,求的取值范围;(Ⅲ)求在上的最大值.启东中学2009/2010学年度高三年级适应性考试数学参考答案一、填空题:本大题共14

6、小题,每小题5分,计70分.1.2.303.4.3或5.6.7.8.209.10.11.210112.013.414.二、解答题:本大题共6小题,计90分.15.解:(Ⅰ)连接AC,则AC∥,而分别是的中点,所以EF∥AC,则EF∥,故平面………………………………………………………7分(Ⅱ)因为平面,所以,又,则平面………………………………………………………………12分又平面,所以平面平面…………………………14分16.解:(Ⅰ)因为,所以,即,则…………4分所以,即,所以………………8分(Ⅱ)因为,所以,即…12分所以=

7、,即的最小值为………………14分17.解:(Ⅰ)因为,所以当时,………………3分又当时,,适合上式,所以()…………………4分所以,则,由,得,解得(舍)或,所以…………7分(Ⅱ)假设存在,使得成等差数列,即,则,化简得………………………………12分所以当时,分别存在适合题意,即存在这样,且符合题意的共有9个……………………………………14分18.解:(Ⅰ)因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为3分连接OD,则由OD=OE=OF=1,,所以…………6分所以…………………………………9分(Ⅱ)因为由…………………………………

8、11分解得,即…………………………………………13分又当时,,所以此时y在上单调递增;当时,,所以此时y在上单调递减.故当时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳…………………16分19.解:(Ⅰ)易得,设点P,则,所以…3分又⊙的面积为,∴,解得,∴,∴所在直线方程为或………………5分(Ⅱ)因为直线的方程为

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