全国高考数学二轮专题三 不等式 第2讲利用导数研究基本不等式问题（八省新高考）解析版.doc

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1、第2讲利用导数研究不等式问题考点1构造函数研究函数性质例1.(1)已知定义在R上的可导函数函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为_______________【答案】【解析】因为为偶函数，则的图象关于x=0轴对称，所以的图象关于x=1对称，因为，所以，设函数，则，因为，所以，即，所以为减函数，因为，所以，即，又，所以，所以，故答案为:【点睛】本题考查了构造新函数，再利用导数判断新函数单的调性，然后解不等式，常见的构造方法有（1）若，构造；（2）若，构造；（3）若，构造；（4）若构造．(2)设函数是定义在上的函数

2、的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设函数，则，因为，所以，所以在上是增函数，，，，所以，故选:A．【点睛】本题考查了构造新函数，再利用导数判断新函数单的调性，然后比较大小.【跟踪演练】1.(1)为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】设函数，可得，由，可得，所以，函数为单调递增函数，由，即，可得；由，即，可得．故选:A．(2)若，不等式恒成立，则的最大值为_________．【答案】【解析】设，则，因为，所以当时，，则函数单调递

3、减；当时，，则函数单调递增；所以，则，令，则；由可得，；所以当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减；所以，即的最大值为．故答案为.考点2不等式恒成立求参数例2.(1)设实数t＞0，若不等式对x＞0恒成立，则t的取值范围为（）A．[，)B．[，)C．(0，]D．(0，]【答案】B【解析】，令，则,所以函数在上单调递增,故，故，故选:B．【点睛】本题考查了利用导数研究不等式的恒成立问题,构造函数研究单调性解不等式.(2)设函数，（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）的单

4、调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）．【解析】（I）易知的定义域为R，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减．的单调递减区间是，单调递增区间是．（Ⅱ）当，时，恒成立，即恒成立，设，由题意可知，在上单调递减，即在上恒成立；，设，则在上单调递减，，即【点睛】本题考查了构造函数将不等式的恒成立问题转化为研究函数的单调性,从而再转化为恒成立问题通过分参解决.【跟踪演练】2.(1)已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意，若显然不是恒大于零，故.（由4个选项也是显然可得），则在上恒成立；当

5、时，等价于，令在上单调递增.因为，所以，即,再设，令，时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.故选：D．【点睛】本题考查了用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的化简与转化，首先确定，其次确定恒成立，在时，把不等式变形，通过新函数的单调性逐步转化，最终分离参数转化为求函数的最值．(2)已知函数.（1）当时，求零点的个数；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）零点的个数为0；（2）.【解析】（1）因为，所以，所以，所以函数在减函数.所以所以零点的个数为0.（2），，，令，则，因为，所以所以，所以

6、函数在减函数，所以当时，，所以函数在减函数，所以，满足题意当时，所以函数在增函数，所以，不满足题意当时，因为，，且函数在减函数，所以存在唯一的，使，所以函数在增函数，在减函数，当时，，不满足题意.综上所述：实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了利用导数研究函数零点个数需用零点存在定理；恒成立问题通常转化为求函数的最小值问题,考查了逻辑推理能力与数学运算能力.考点3证明不等式例3.(1)下列不等式正确的是（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】ABC【解析】对于选项A：设，则，令，解得，当时函

7、数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A正确；对于选项B：设，所以，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；对于选项C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，（1），所以当时，，故C正确；对于选项D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，所以时，成立，时，，故D错误．故选：ABC【点睛】本题考查了构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式.(2)已知函数.（1）求函数的单调区间.

8、（2）证明：.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，函数，其定义域为，可得，令，解得；令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）要证，即要证，即证明.令，则.由，解得；由，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，.令，则，由，解得；由，解得.