全国高考数学备考二轮专题二 函数与导数 第5讲 函数的综合应用(八省新高考)解析版.doc

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1、第5讲函数的综合应用考点1函数与方程例1.(1)已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,的图象上存在两个点关于原点对称,则在上有解,即在上有解,由在上的值域为,则实数的取值范围是.故选:D.(2)已知函数,若函数有两个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由函数与的图象关于直线对称,可得的图象如图所示,所以当时,直线与函数的图象有两个交点.故选:D.【点睛】解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的

2、根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.【跟踪演练】1.(1)对于函数与,若存在,使,则称,是函数与图象的一对“隐对称点”.已知函数,,函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意函数与的图象有两个交点,令,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减;又恒过点,当时,,在同一坐标系中作出函数、的图

3、象,如图,由图象可知,若函数与的图象有两个交点,则,当直线为函数图象的切线时,由可得,即.故选:A.(2)已知函数,且关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围()A.B.C.D.【答案】B【解析】若要使方程即有且只有一个实数根,则函数的图象与直线有且仅有一个交点,在同一坐标系中作出函数及的图象,如图,数形结合可得,若函数的图象与直线有且仅有一个交点,则,所以实数的取值范围为.故选:B.考点2函数性质的综合例2.(1)已知函数是定义在上的奇函数,,且时,,则()A.4B.C.2D.-2【答案】D【解析】因为,所以函

4、数是周期为4的周期函数,则(1),故选:D.(2)已知函数(且)是奇函数,且.①求的值及的定义域;②设函数有零点,求常数k的取值范围;③若,求t的取值范围.【答案】①,,的定义域为;②;③.【解析】①由得又是奇函数,即,注意到解得,,由得的定义域为②,有零点,即关于的方程有实数解有实数解,且且的取值范围是③先证明函数在上单调递减设,则,即函数在上单调递减由得又是奇函数所以的取值范围是【点睛】本题考查了奇函数的性质和单调性的应用以及函数的零点,考查了利用函数的单调性解不等式.【跟踪演练】2.(1)设是定义域为的奇函数,满

5、足,已知当时,,则()A.2B.C.1D.【答案】B【解析】根据题意,是定义域为的奇函数,则,且;又由即有,则,进而得到,为周期为4的函数,则,,当时,,则(1),则,故,故选:B.(2)已知函数是定义在上的偶函数,且,当时,单调递增.若实数满足,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知为偶函数,且在上单调递增,所以在上单调递减,所以的图象越靠近轴对应的函数值越大,因为,所以,所以,所以,所以,所以,故选:B.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集,常见利用函数性质求解抽象

6、不等式的方法:(1)根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性;(2)将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内;(3)通过单调性得到自变量的大小关系,由此求解出不等式的解集.考点3函数的极值与极值点个数 例3.(1)已知函数的导函数,若在处取得极大值,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由在处取得极大值可知,当时,;当时,,其等价于①存在,使得,且②存在,使得;若时,的解集为,不满足②即不存在,使得,故时在不是极大值;若时,的解集为,的解集为,满足①②,故时,在处取得极大值;若,恒

7、小于等于0,不满足①,故时,在取不到极大值;若时,的解集为,不满足②,故时,在处取不到极大值.综上,的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查了利用导数极值求参数取值范围,其中求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解方程求出函数定义域内的所有根;(4)检查在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值。(2)已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值点个数.【答案】(1);(2)答案见解析【解析】(1)依题意,,故

8、,又,故所求切线方程为.(2)依题意.令,则,且当时,当时,,所以函数在单调递减,在单调递增,,当时,恒成立,.函数在区间单调递增,无极值点;当时,,故存在和,使得,当时,,当时,,当时,,所以函数在单调递减,在和单调递增,所以为函数的极大值点,为函数的极小值点.综上所述,当时,无极值点;当时,有个极值点.【点睛】本题考查了导数的

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