全国高考数学备考二轮专题二 函数与导数 第4讲 函数的零点问题（八省新高考）解析版.doc

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1、第4讲函数的零点问题考点1确定函数零点个数例1.(1)设函数，则函数的零点个数为（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】，由得，作出与的图象，由图象知两个函数共有3个交点，则函数的零点个数为3个，(2)已知函数，则函数在上的所有零点的和为（）A．6B．8C．D．【答案】B【解析】令，得，函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标．又函数的图象关于点对称，函数的周期为2，其图象也关于点对称，画出两函数图象如图：共有8个交点，这8个点两两关于点对称，故其横坐标的和为8．故选：B．【点睛】1.正确理解函

2、数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,【跟踪演练】1.(1)定义在上的函数满

3、足且．当时，．则函数在区间上所有的零点之和为_________．【答案】【解析】得，是偶函数，，是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称．是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，函数在区间上所有的零点，即为方程的解，在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，其中，，由对称性知，所以，所以题中零点和为．故答案为．(2)已知函数，则使得成立的的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】令，则的零点，转化为，而，由，解得（正值舍），由，解得，所以，即时，，

4、得（正值舍），时，，得，，即时，，得无解，时，，得，所以有3个零点．故选:B．考点2利用函数零点个数求参数例2.(1)已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数与的图象关于直线对称，可得的图象如图所示，所以当时，直线与函数的图象有两个交点．故选:D．(2)已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，由方程可化为

5、，解得或，画出函数的图象，如图所示，要使得关于的方程有5个不同的实数根，则满足，解得，即实数的取值范围是．故选：A．【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【跟踪演练】2.(1)若函数有三个不同零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】由函

6、数有三个不同零点，则函数有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0，由，解得：，，所以时，时，时，，所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，可得的极小值，的极大值，所以，解得：，故的取值范围为：.(2)已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意，当时，；当时，；当时，．作出函数的图象，如下图所示，易知与直线有四个交点，分别为，，，，因为有四个不同的解，，，且，所以，且，，又，，所以，即，则．所以，且，构造函数，且，可知在上单调递减，且，，所以，即．所以的取值范围为．

7、故选：B．考点3利用导数研究函数零点　例3.(1)已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得有两个零点，，令，则且，所以，在上为增函数，可得，当，在上单调递减，可得，即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是．故选:A．(2)已知函数，．（1）讨论函数在上的单调性；（2）求函数在上的零点个数．【答案】（1）函数在上的单调递减；（2）有且只有一个零点．【解析】（1），则．当时，，，，即，，故函数在上的单调递减．（2），则，时，，，又，且，，故函数在上单调递减，

8、又，，因此，函数在上有且只有一个零点．【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，常见的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图