离散数学-第三章-集合.ppt

《离散数学-第三章-集合.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章集合3.1集合论基础3.2集合运算及性质3.3包含排斥原理3.4笛卡尔积1一.集合的基本概念1.集合的表示法2.集合概念的注记3.集合的基数4.集合相等公理二.集合间的包含关系1.子集与真子集2.全集和空集3.幂集4.文氏图第三章集合3.1集合论基础2一.集合的基本概念把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。组成集合的每个事物称为此集合的元素，记aA。通常用大写英文字母来标记集合，用小写英文字母标记组成集合的个体。若个体a是集合A的元素，则记作“a∈A”；若个体a不是集合A的元素，则记作“aA”。第三章集合3.1集合论基础3几个常

2、用集合的表示符号：N：所有自然数的集合。Q：所有有理数的集合。I：所有整数的集合。P：所有素数的集合。R：所有实数的集合。C:所有复数的集合。R+：所有正实数的集合。R-：所有负实数的集合。第三章集合3.1集合论基础41.集合的表示法(1)列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。例如：A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8}第三章集合3.1集合论基础51.集合的表示法(2)描述法：给定一个条件P(x)，当且仅当个体a使P(a)成立时，a∈A。其一般形式为A={a∣P(a)}。例：1.上述集合B={a∣a∈N且4≤a≤8}；2.D={2

3、x∣x∈Z+且x≤50}，即D={0,2,4,6,…,98,100}第三章集合3.1集合论基础62.集合概念的注记(1)集合的元素可以是集合。例：A={a,b,c,D}而D={a,b,c}(2)仅含一个元素的集合称为单元素集合。(3)应把单元素集合与单元素区别开来。例:(1){A}与A不同。{A}表示仅以A为元素的集合。(2){{1，0}}与{1，0}不同。{{1，0}}表示仅以{1，0}为元素的集合，{1，0}是{{1，0}}的元素。第三章集合3.1集合论基础73 .集合的基数集合A中不同元素的个数称为集合A的基数，记作

4、A

5、。若

6、A

7、是有限数，则称A为有限集，否则称A为

8、无限集。例：A={a,b}，则A=2，{A}=1；A={a,a,b}，A=2。第三章集合3.1集合论基础84.集合相等公理外延公理：集合A，B相等，当且仅当x(xAxB)∧x(xBxA)为真(即仅当它们有相同的成员)。说明：（1）列举法中，元素的次序无关紧要，即{x,y,z}与{z,x,y}相等。（2）元素的重复出现无关紧要，即{x,y,x},{y,x},{x,x,x,x,y}相等。（3）集合的表示方法不唯一，即{xx2=1}与{-1,1}相等。第三章集合3.1集合论基础9二.集合间的包含关系1.子集与真子集定义：设A和B是集合，若x(xA

9、xB)，那么A是B的子集，记为AB，读作“B包含A”或“A是B的子集”。定义：若AB，且AB，称A是B的真子集，记为AB。读作“B真包含A”或“A被真包含在B中”即ABx(xAxB)∧x(xB∧xA)。第三章集合3.1集合论基础10定理1：A=B当且仅当AB∧BA。证：A=Bx(xAxB)∧x(xBxA)AB∧BA∴定理1正确。推论：AA（∵A=A，∴AA）第三章集合3.1集合论基础11定理2：若AB，且BC，则AC。证：∵ABx(xAxB)BCx(xBxC)∴x(xAxB)

10、∧x(xBxC)x(xAxC)，即定理2正确。第三章集合3.1集合论基础12定义：如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集记为U或E。则U={x

11、P(x)∨P(x)}。定理3：任意集合AU。证：∵x(xU)为真，所以x(xAxU)为真，∴定理3正确。2．全集和空集第三章集合3.1集合论基础13定义：没有元素的集合称为空集，记为。则={x

12、P(x)∧P(x)}。定理4：对任意集合A，A。证：∵x(xxA)永真，∴A。第三章集合3.1集合论基础14定理5：空集是唯一的。证：设有二个空集，，′，则

13、′，′，∴=′。注意：与{}不同，前者没有元素，后者是以空集为一个元素的集合。第三章集合3.1集合论基础153.幂集定义：设A是一个集合，A的所有子集的集合，称为A的幂集，并记为P(A)或2A。例：设A={a,b},B={a,b,c}则第三章集合3.1集合论基础且16定理：设A是一个有限集合，则

14、P(A)

15、=2

16、A

17、。证明：设A={a1,a2,…,an}，从n个元素中选取m个元素的方法有种，所以A的子集个数为：第三章集合3.1集合论基础:{a1},:{a2},…{an}:{a1,a2},{a1,a3}