离散数学-同态和同构.ppt

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时间:2021-03-23

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1、离散数学(二)第二讲计算机学院:焦晓鹏同态和同构代数的同态与同构11同态代数的性质2主要内容:同态与同构的概念重点:同态代数的性质难点:重点和难点:一、同态与同构两个代数在结构上是一致的,大致地说,有以下3点要求:(1)两个代数必须有相同的构成成分;(2)两个代数的运算和常数必须遵循相同的规则;(3)两个代数的载体必须有相同的基数。这种结构上的一致性,数学上叫同构,可以用与代数的“运算”和“常数”密切相关的一个双射函数来精确地刻画。一、同态与同构同态定义:设A=和A′=是具有

2、相同构成成分的代数,h是一个函数。如果满足(1)h∶S→S′;(2)对所有a,b∈S,均有h(a*b)=h(a)*′h(b);(3)对所有a∈S均,有h(△a)=△′h(a);(4)h(k)=k′;则称h是从A到A′的同态,称为A在映射h下的同态象。在h作用下,A的每一运算都保持,简称为运算保持一、同态与同构同态的分类:根据函数h的特点,可将同态分成如下几类:(1)如果h是单射,那么称h是单一同态;(2)如果h是满射的,那么称h是满同态;(3)如果h是双射的,那么称h是从A到A′的同构;(

3、4)如果A=A′,那么称h是自同态;(5)如果A=A′且h是同构,那么称h是自同构。一、同态与同构同态的图示:hA=同态象A'=h是从A到A′的同态,称为A在映射h下的同态象一、同态与同构例1(a):R+:正实数集,R:实数集,试证明:同构。证明:设f∶R+→R,f(x)=logx,由于(1)证明f∶R+→R双射。易见f∶R+→R单射,因为对数函数单调增加;f∶R+→R满射:任意y∈R

4、,存在x=ey∈R+,使得f(x)=logey=y;(2)运算保持。对所有x,y∈R,均有f(x·y)=log(x·y)=logx+logy=f(x)+f(y);(3)常元运算保持。f(1)=log1=0。所以同构。一、同态与同构例1(b):集合A={1,2,3,4},函数f∶A→A,f={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,1>},f0表示A上的恒等函数;f1表示f;f2表示合成函数f·f;f3表示f2·f;f4表示f3·f;则f4=f0。设F={f0,f1,f2,f3},则代数

5、可以用左下方的运算表给定,这里f0是么元。集合N4={0,1,2,3},+4是模4加法,代数用右下方的运算表给定,这里0是么元。试证明这两个代数同构。·f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2+4012300123112302230133012一、同态与同构例1(b)证明:,F={f0,f1,f2,f3};,N4={0,1,2,3}作映射h∶F→N4,h(fi)=i(i=0,1,2,3)(1)h∶

6、F→N4双射;(2)h(f0)=0;(3)任取fi,fj∈F,i,j∈N4,因为h(fi)=i,h(fj)=j,所以h(fi·fj)=h(fi+j)=h(f(i+j)mod4)=(i+j)mod4=i+4j=h(fi)+4h(fj)。所以,代数同构。一、同态与同构例1(c):证明代数是不同构的。证明:使用反证法。假设h是从的一个同构。因为h是从N到I+的一个满函数,必有x∈N(x≥2)和某质数p(p≥3),使h(x)=p(I+中有无限多

7、的质数),因此有以下式子成立:p=h(x)=h(x+0)=h(x)·h(0)(1)p=h(x)=h((x-1)+1)=h(x-1)·h(1)(2)但因为p是一质数,唯一的因子是p和1,根据(1),h(x)=1或h(0)=1;根据(2),h(1)=1或h(x-1)=1。因为0<1≤x-1<x,所以,在映射h下,1至少是两个元素的象,得出h不是双射函数,因此不同构。一、同态与同构定理1:设h是从A=到A′=的同态,那么A的同态象

8、>是A′的子代数。证明:为证同态象是A′的一个子代数,只要证明:(1)h(S)⊆S′。这从h:S→S′函数的事实得出。h(S)⊆S′(2)据同态定义,h(k)=k′,因为k∈S,得出k′=h(k)∈h(S),即k′∈h(S)。(3)h(S)关于运算*′是封闭的。因为如果a,b∈h(S),那么存在x、y

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