第一节微分方程的基本概念.ppt

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1、(微分方程)第十二章微分方程第一节微分方程的基本概念一微分方程的基本概念例1一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为2x,求这曲线的方程.(1,2)M(x,y)2xxy解:设所求的曲线方程为y=y(x),按题意,未知函数y(x)应满足例2放射性元素镭等会不断地放出射线而逐渐减少其质量（这种现象叫做衰变）经测定，其衰变的速率与元素剩余的质量成正比。如果已知剩余物在时间t0的质量为x0，求它在任何时刻t的质量。解：其中x(t)为元素的质量,dx/dt表示衰变的速率,a为比例常数.初始条件t=t0,x=x0将

2、上式乘以dt/x,再积分,得到将关系式中含有未知函数的导数的方程,称为微分方程.一般的微分方程中有未知函数,未知函数的导数和自变量.其它可以不出现,但未知函数的导数一定要有.如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,则称它为常微分方程.自变量的个数为两个或两个以上的称为偏微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶,上面的微分方程都是一阶的.是二阶微分方程是四阶微分方程微分方程的特解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.初值问题的几何意义是求微分方程通过点(x0,y0)的积分曲线.微分方程的一般形式是一阶微

3、分方程y’=f(x,y)F(x,y,y’)=0二阶微分方程y”=f(x,y,y’)F(x,y,y’,y”)=0如果一个函数y=y(x)代入微分方程中使它变成恒等式,该函数称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解.为了使研究的问题具有实际的意义,要求给出初始条件将这些任意常数变成确定的数称为微分方程的特解.初始条件:例如t=t0,x=x0..y

4、x=x0=y0,y(x0)=y0,y’(x0)=y’0.....例3验证函数是微分方程证明:将x的函数求一阶,二阶导数

5、再代入到微分方程中去就可以了.的通解