第二讲----集合的概念2.doc

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1、第二讲集合的概念(2012-7-9)例1设集合A的元素都是正整数,满足如下条件:(1)A的元素个数不小于3;(2)若,则的所有因数都属于A;(3)若,,,则.请解答下面的问题:(1)证明:1,2,3,4,5都是集合A的元素;(2)问:2005,2012是否是集合A的元素.例2设T是由得所有正因数组成的我集合,S是T的一个子集,其中没有一个数是另一个数的倍数,求Card(S)的最大值(Card(S)表示有限集合M所含元素的个数).例3对于集合M,定义函数对于两个集合M,N,定义集合.已知,.(Ⅰ)写

2、出和的值,并用列举法写出集合;(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,求的最小值;(Ⅲ)有多少个集合对(P,Q),满足,且?例4若集合具有以下性质:①,;②若,则,且时,.则称集合是“好集”.(Ⅰ)分别判断集合,有理数集是否是“好集”,并说明理由;(Ⅱ)设集合是“好集”,求证:若,则;(Ⅲ)对任意的一个“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题:若,则必有;命题:若,且,则必有;例3对于集合M,定义函数对于两个集合M,N,定义集合.已知,.(Ⅰ)写出和的值,并用列举法写出集合;

3、(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,求的最小值;(Ⅲ)有多少个集合对(P,Q),满足,且?解:(Ⅰ),,.………………………………………3分(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,①若且,则;②若且,则.所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.………………………………………8分(Ⅲ)因为,所以.由定义可知:.所以对任意元素,,.所以.所以.由知:

4、.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对(P,Q)的个数为.………………………14分(20)(本小题满分14分)若集合具有以下性质:①,;②若,则,且时,.则称集合是“好集”.(Ⅰ)分别判断集合,有理数集是否是“好集”,并说明理由;(Ⅱ)设集合是“好集”,求证:若,则;(Ⅲ)对任意的一个“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题:若,则必有;命题:若,且,则必有;作业:1.已知,,且,求的值.2.已知是方程的实数解集,,且,,求的值.3.已知集合,,且是一个单元素集,求实数的取值

5、范围.4.在集合的子集S中,任意两个元素的平方和不是7的倍数,求Card(S)的最大值.5.M是正整数集的子集,满足:,并且有如下性质:若,则,求M有多少非空子集?6.设S1,S2,S3,,是三个由整数组成的非空集,已知对于1,2,3的任意的一个排列,如果,则,证明:S1,S2,S3中必有两个集合相等.7.已知集合,,,则(1)当去何值时,是一个2元素集;(2)当去何值时,是一个3元素集.8.设集合,,其中都是正整数,且,,并且满足,中所有数之和为224,求集合A.9.考虑集合满足下述条件的子集A

6、,A中没有一个数是另一个数的5倍,求Card(A)的最大值.10.已知一族集合具有性质:(1)每个含有30个元素;(2)对每一对:,都是单元素集;(3).求使这样的集合族存在的最大的正整数.11.已知,且A中任意两个数之差的绝对值不等于4或7,求Card(A)的最大值.测试题1.已知集合,,确定集合和之间的关系.2.已知,,,求及.3.已知集合,对它的任一非空子集A,可以将A中的每一个元素,都乘以在求和(例如,,则可求得和为).对S的所有非空子集,求这些和的总和.4.设,求证:,并求M中,从小到大

7、的第2006个正整数的大小.5.设,求证:,并且对任意正整数,均有.6.设是集合的不同子集,它们两辆的交集都不是空集,而的其他子集不能与中每一个的交集都是非空集合,求的值.

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