药学高数22(应用2).ppt

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1、3.平面曲线的弧长B光滑曲线y=f(x)上AB的长度sNMQ在[a,b]上任取一个子区间[x,x+dx],相应曲线弧MN的长A度用M点处的切线段MQ来近b似替代。axx+dx(ds)2=(dx)2+(dy)22222sds(dx)(dy)1(y)dx1[f(x)]dxds为弧长的微元bbb22sds1(y)dx1[f(x)]dxaaax(t)若曲线由参数方程：(ttt)12y(t)给出，且(t),(t)在[t1,t2]上有连续的一阶导数，则弧微分2222

2、dsdxdy[(t)][(t)]dtt222s[(t)][(t)]dtt1222例4-20求星形线x3y3a3的周长。星形线223解：y(a3x3)21221yx3(a3x3)222211233333ds1(y)dx1x(ax)dxaxdx1112a3as4a3x3dx4a3x36a00233星形线xacost,yasint星形线是内摆线的一种.(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)参数的几何意义yy大圆半径R＝at

3、txx小圆半径OOaaar4点击图片任意处播放开始或暂停3xacost由参数方程：(0t)3yasint2x=-3acos2t·sinty=3acost·sin2t24224s43acostsintcostsintdt012a2costsintdt12a2sintdsint002sint12a26a02例4-21旋轮线x=R(-sin),y=R(1-cos)的第一拱[0,2]的弧长解:22222SR(1cos)Rsind022R2

4、(1cos)d2Rsind00222R(2cos)8R02当曲线由极坐标方程：r=r()(≤≤)给出时若r()在(,)内连续，xrcosxrcosrsinyrsinyrsinrcos22则弧微分dsxyd22(rcosrsin)(rsinrcos)d22r()[r()]d22sr()[r()]d例4-22求心形线r=a(1+cos)(a>0)的周长解:由对称性求(0<<

5、)22s2r()[r()]d022222a(1cos)asind02222a(12coscossin)d0222a(1cos)d02224acosd8asin8a0220三、定积分在物理上的应用(一)变力沿直线所做的功物体在恒力F作用下沿直线移动的距离为s那么力F所作的功为W=F·s物体在变力F(s)作用下,沿s轴从s=a移动到s=b.在[a,b]内任取一点s,[s,s+ds]s处的F(s)看作恒力，ass+dsb得到功的微元:dW

6、=F(s)dsb所求的功为WF(s)dsa例4-23某种定量气体密闭在附有活塞的圆筒内，在等温条件下,由于气体的膨胀,把活塞从点aax处推移到点b处,求移动过程中b气体压力所作的功.解:设容器的底面积为S,内部的压强为P,则F=PS等温条件下,PV=C,又有V=xS,VCF(x)PSPxxbbCbbWaF(x)dxadxClnxaClnxa例4-24一圆台形容器内贮满了水,其高为5m,上底圆半径为3m,下底圆半径为2m,问欲将容器内水全部抽出,需作多少功?y解:在深度为y处抽取厚度为dy的5(

7、3,5)薄层水所受的重力为AG=gV=gx2dyyxxg=9.8,=1000kg/m3B0(2,0)直线AB的方程为:yy5(x2),x255y2Wg(2)(5y)dy055y2Wg(2)(5y)dy05325y3yg(20)dy025543y3y5g[20y]010052.116(焦耳)（二）液体的静压力一平置于液体内的物体受y到液体静压力F=·g·h·Sx设一薄板由y=f(x)，x=a,x=bx+dxy=f(x)及x轴围成垂直置于液体中任取[

8、x,x+dx],得压力微元：xdF=·g·x·f(x)dxbFgxf(x)dxa例4-25在水坝中有一等腰三角形闸门,长为3m的底边BC平行于水面且距水面为4m,高DA为2m,求这闸门所受压力y解：AC的方程D4C(4,1.5)B1.5y(6x)x2A(6,0)6xF2gxydx4361.53622109.8x(6x)dx