药学高数2(极限).ppt

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1、第三节极限一、数列的极限二、函数的极限一、数列的极限我国古代数学家刘徽（第三世纪）利用圆内接正多边形的面积来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的一个应用。设有一圆，欲求它面积的精确值S。为此先作圆的内接正六边形，其面积记为S1，再作圆内接正十二边形，其面积记为S2，再作圆内接正二十四边形，其面积记为S3，…，循此下去，每次边数加倍，就可以得到一系列圆内接正多边形的面积。圆内接正多边形的边数无限增加,Sn也无限接近于确定的数值S。若xn是正整数n的函数:xn=f(n),其取值依次为x1,x2

2、,…,xn,…像这样一列有次序的数,叫做数列(sequenceofnumber),简记为数列{xn}。数列中的每一个数叫做数列的项，x1叫做数列的首项，第n项xn叫做数列{xn}的一般项或通项。例如：1，2，3，…，n…{n}（1-1）{}（1-2）{}（1-3）{}（1-4）在几何上，数列可看作数轴上的一列点。若数列{xn}满足x1≤x2≤x3≤…≤xn≤…则称数列{xn}为单调增加数列;若数列{xn}满足x1≥x2≥x3≥…≥xn≥…则称数列{xn}为单调减少数列。若对于数列{xn}，存在正数M,

3、使得对一切n，都满足不等式xn≤M则称数列{xn}是有界的。如果这样的正数M不存在，则称数列{xn}是无界的。x2x1x3xn例如：数列（1-2）、（1-3）、（1-4）是有界数列，而数列（1-1）是无界的。定义1-4如果当n无限增大时，xn无限趋于一个确定的常数a，则称a是数列{xn}当n∞时的极限(limit)，或称数列{xn}收敛(convergent)于a，记为或例1-7讨论数列当n∞时的变化趋势。解此数列的一般项为当n越来越大时，点xn越来越接近于点1，即定义1-5“-N”定义如果

4、对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在正整数N，使得对于满足n>N时的一切xn，不等式xn-a<恒成立，则称常数a是数列{xn}当n∞时的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为或xna（n∞）注意:（1）定义中的正数“可以任意给定”是很重要的。（2）定义中的正整数N是与任意给定的正数有关的它可以随的给定而选定。“数列{xn}的极限是a”的几何解释：因为不等式xn-a<即不等式a-＜xn＜a+，所以当n>N时，所有点xn都落在开区间（a-，a+）内，而只有有限个（至多

5、有N个）点落在这个区间之外。并不是所有的数列都有极限。例如：在n无限增大时，总是在0和1这两个数上来回跳动，不趋于某一个确定的常数,所以发散。x2a-xN+1axN+3xN+2a+x1x3x2例如:已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要则当时,就有故二、函数的极限（一）当xx0时函数的极限定义1-6设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义（点x0可以除外），如果当x无限趋近于（即xx0（x≠x0）时），对应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A是函数f(x)当xx0时的极限

6、，记为或例1-8讨论函数f(x)=2x+1当x1时的变化趋势。表1-2x0.90.990.9990.9999…1…1.00011.0011.011.1f(x)=2x+12.82.982.9982.9998…3…3.00023.0023.023.2定义1-7“-”定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义（点x0可以除外），如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式0＜x-x0＜的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)-A＜则称常数A为函数

7、f(x)当xx0时的极限，记为或函数f(x)当xx0时的极限为A的几何解释:任意给定一正数,作平行于x轴的两条直线y=A+和y=A-，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的，存在点x0的一个去心的邻域（即），当y=f(x)图形上点的横坐标时，这些点的纵坐标f(x)均满足不等式f(x)-A＜即A-＜f(x)＜A+，从而这些点落在上面所说的横条区域内。x0y=f(x)A-A+Ax0-x0+x0例1-9证明（C为一常数）。证因为f(x)-A=C-C=0，

8、对于任意给定的正数，可任取一正数，当0＜x-x0＜时，能使不等式f(x)-A=0＜恒成立，所以例1-10证明证因为f(x)-A=x-x0，对于任意给定的正数，可任取一正数=，0＜x-x0＜=时，能使不等式f(x)-A=x-x0＜恒成立，所以例1-11讨论当x3时，是否存在极限。解函数在x=3处是没有定义的，但x≠3，从而f(x)-6=(x+3)-6=x-3，因此对于任意给定的正数，总可以取=