西南科技大学高等数学竞赛!.doc

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1、西南科技大学2008-2009-2学期≤高等数学≥竞赛试题答案与评分标准一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）（1）设.[考点知识点]（2）已知，则.[考点知识点]（3）设是闭区域，则.[考点知识点](对称区间积分考虑奇偶性)。（4）曲线在点处的切线对于轴的倾角为.考点知识点：（5）已知D是长方形区域：，且，则.[考点知识点]（6）向量在向量方向上的投影为.[考点知识点]（7）微分方程的通解.[考点知识点]特征方程的解,通解.（8）级数(其中)的和函数.[考点知识点],.一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）（1）（2），（3）（4）（5）（6）6[

2、复习填空练习题]10一，填空题（每题2分，满分12分）1，。。2，设在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数（方向与x、y、z轴正向的夹角分别是）。设在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数（轴到方向的转角为）。设在平面区域内有一阶连续偏导数，则对于每一点,梯度。设在平面区域内有一阶连续偏导数，则对于每一点,梯度。3，空间曲线上两类曲线积分之间的关系为。平面曲线上两类曲线积分之间的关系为。4，级数收敛，是任意项级数收敛的______________条件。若级数收敛但是发散，收敛，则称级数为______________收敛。5，设曲面方程，为曲面在面上投影区域，在上有

3、连续偏导数，则曲面面积。设曲面方程，为曲面在面上投影区域，在上有连续偏导，则曲面面积。10设曲面方程，为曲面在面上投影区域，在上有连续偏导，则曲面面积。6，若在点可微，则该点的偏导数是否存在（是，否，不一定），是否连续。若在点偏导数存在，则在该点是否一定可微（是，否，不一定）。二、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）设是的一个解，若且，则在点处（）。（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某个邻域内单调增（D）某个邻域内单调减（2）设、是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列选项正确的是（A）.（B）（C）

4、.（D）（3）设时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数()（A）（B）（C）（D）（4）已知曲面上点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标为：（A）.（B）（C）.（D）[考点知识点]+对应分量成比例，搞定（5）在点的偏导数及存在，是函数在该点连续的（）。（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件[考点知识点]在点的偏导数及存在与函数在该点连续,既非充分又非必要(条件).（6）曲线L是以、、为顶点的三角形区域的正向边界，则()（A）.（B）（C）.（D）.10[考点知识点]格林公式.（7）设有级数和级数，它们的

5、敛散情况为（）。（A）级数与级数同时收敛（B）级数与级数同时发散（C）级数收敛但级数发散（D）级数发散但级数收敛[考点知识点]正项级数的比较判别法和比较判别法的极限形式.（8）幂级数的收敛区域为（C）。（A）（B）（C）（D）[考点知识点],在时级数发散，在时级数收敛,幂级数的收敛区域为.二、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）（1）A（2）A（3）B（4）B（5）D（6）B三、解答题（本题共8小题，满分52分）三、解答题（本题共8小题，满分52分。解答题应写出证明过程或演算步骤）（1）（本题6分）求极限（1）（本题6分）解：原式=………………3分………………

6、3分[考点知识点]分子有理化+“极坐标变换”+无穷小乘有界变量.（2）（本题6分）计算二重积分，D是由、及所围成的闭区域。（2）（本题6分）10解：………………3分………………3分解2：………………3分………………3分[考点知识点](对称区间积分考虑奇偶性)积分区间只是关于对称,被积函数为奇函数,从而。（3）（本题6分）设，其中具有二阶连续偏导数，求（3）（本题6分）解1：。。。。。。3分…2分…1分解2：………………3分………………3分[考点知识点]确定关于谁求导:认清中间变量的个数,有几个中间变量就有几坨.（4）（本题6分）设且证明：（4）（本题6分）证：由知：…3分1

7、0于是………………3分[考点知识点]1.由和存在，搞定，并且.2.由Maclaurin公式有：.（5）（本题6分）证明函数在点处不可微分.（5）（本题6分）证：函数在点处有则………………3分而当沿y=kx趋于（0，0）时极限不为0，则函数在（0，0）不可微分。………………3分[考点知识点]函数在点处可微。（6）（本题8分）计算，其中L为连结与的直线段AB之下方以A为起点B为终点的任意有向曲线弧，且L与直线段AB所围图形的面积为2.（6）（本题8分）解：……………3分……………2分10所以……………3分[考点知识点]