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时间：2021-03-23
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1、第六节可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程四、小结一、型的微分方程解法例1：解：两边积分可得：再积分一次得：这种方程的通解可经过积分次而求得。求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.解表示在时刻时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为由题设,,且力随时间的增大而均匀地减小;所以例2质量为的质点受力的作用沿轴作直线运动.设力仅是时间的函数:.在开始时刻时,随着时间的增大,此力均匀地减小,直到时,.如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求质点在时的运动规律
2、.从而方程为初始条件为两端积分得代入初始条件于是方程变为再积分一次得将条件代入上式,得于是,所求质点的运动规律为二、不显含未知函数的二阶微分方程形式为的微分方程。解法：此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出一阶微分方程的通解后再两边积分即可。例3解：两边积分得到两边再积分得于是所求方程的特解为：例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂。试问绳索在平衡状态时是怎样的曲线？解：设绳索的最低点为A.取y轴通过点A铅直向上并取x轴水平向右，且
3、OA
4、等于某个定值。三、不显含自变量
5、的二阶微分方程解法：这时方程变为一阶微分方程：解代入原方程得原方程通解为例4四、小结解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解.练习题练习题答案
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